La teoría del espacio de escala es un marco para la representación de señales de múltiples escalas desarrollado por las comunidades de visión por computadora , procesamiento de imágenes y procesamiento de señales con motivaciones complementarias de la física y la visión biológica . Es una teoría formal para manejar estructuras de imágenes a diferentes escalas , al representar una imagen como una familia de un parámetro de imágenes suavizadas, la representación del espacio de escala , parametrizada por el tamaño del núcleo de suavizado utilizado para suprimir estructuras de escala fina. [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] El parámetroen esta familia se conoce como el parámetro de escala , con la interpretación de que las estructuras de imagen de tamaño espacial más pequeñas que aproximadamente se han suavizado en gran medida en el nivel del espacio de escala a escala .
Espacio de escala | |
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Axiomas del espacio de escala | |
Implementación del espacio de escala | |
Detección de características | |
Detección de bordes | |
Detección de manchas | |
Detección de esquinas | |
Detección de crestas | |
Detección de puntos de interés | |
Selección de escala | |
Adaptación de formas afines | |
Segmentación del espacio de escala | |
El tipo principal de espacio de escala es el espacio de escala lineal (gaussiano) , que tiene una amplia aplicabilidad, así como la propiedad atractiva de ser posible derivar de un pequeño conjunto de axiomas del espacio de escala . El marco de escala-espacio correspondiente abarca una teoría para los operadores derivados de Gauss, que puede usarse como base para expresar una gran clase de operaciones visuales para sistemas computarizados que procesan información visual. Este marco también permite que las operaciones visuales se conviertan en invariantes de escala , lo cual es necesario para lidiar con las variaciones de tamaño que pueden ocurrir en los datos de la imagen, porque los objetos del mundo real pueden ser de diferentes tamaños y, además, la distancia entre el objeto y la cámara puede ser desconocido y puede variar según las circunstancias. [9] [10]
Definición
La noción de espacio de escala se aplica a señales de números arbitrarios de variables. El caso más común en la literatura se aplica a imágenes bidimensionales, que es lo que se presenta aquí. Para una imagen dada, su representación de espacio de escala lineal (gaussiana) es una familia de señales derivadasdefinido por la convolución decon el kernel gaussiano bidimensional
tal que
donde el punto y coma en el argumento de implica que la convolución se realiza solo sobre las variables , mientras que el parámetro de escala después del punto y coma solo indica qué nivel de escala se está definiendo. Esta definición de funciona para un continuo de escalas , pero normalmente sólo se consideraría realmente un conjunto finito y discreto de niveles en la representación del espacio de escala.
El parámetro de escala es la varianza del filtro gaussiano y como límite para el filtro se convierte en una función de impulso tal que es decir, la representación del espacio de escala a nivel de escala es la imagen sí mismo. Como aumenta, es el resultado de suavizar con un filtro cada vez más grande, eliminando así más y más detalles que contiene la imagen. Dado que la desviación estándar del filtro es, los detalles que son significativamente más pequeños que este valor se eliminan en gran medida de la imagen en el parámetro de escala , consulte la siguiente figura y [11] para ver ilustraciones gráficas.
Representación del espacio de escala a escala , correspondiente a la imagen original
Representación del espacio de escala a escala
Representación del espacio de escala a escala
Representación del espacio de escala a escala
Representación del espacio de escala a escala
Representación del espacio de escala a escala
¿Por qué un filtro gaussiano?
Ante la tarea de generar una representación multiescala, cabe preguntarse: ¿podría utilizarse algún filtro g de tipo paso bajo y con un parámetro t que determine su ancho para generar un espacio de escala? La respuesta es no, ya que es de crucial importancia que el filtro de suavizado no introduzca nuevas estructuras falsas a escalas gruesas que no correspondan a las simplificaciones de las estructuras correspondientes a escalas más finas. En la literatura sobre el espacio de escala, se han expresado varias formas diferentes de formular este criterio en términos matemáticos precisos.
La conclusión de varias derivaciones axiomáticas diferentes que se han presentado es que el espacio de escala gaussiana constituye la forma canónica de generar un espacio de escala lineal, basado en el requisito esencial de que no se deben crear nuevas estructuras al pasar de una escala fina a una escala más gruesa. . [1] [3] [4] [6] [9] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] Condiciones, denominadas axiomas del espacio de escala , que se han utilizado para derivar la singularidad de la gaussiana núcleo incluir linealidad , invariancia cambio , semi-grupo estructura, no mejora de extremos locales , invarianza de escala y invariancia rotacional . En los trabajos, [15] [20] [21] se ha criticado la unicidad reivindicada en los argumentos basados en la invariancia de escala, y se han propuesto núcleos alternativos de espacio de escala auto-similares. El kernel de Gauss es, sin embargo, una elección única de acuerdo con la axiomática del espacio de escala basada en la causalidad [3] o en la no mejora de los extremos locales. [16] [18]
Definición alternativa
De manera equivalente , la familia del espacio de escala se puede definir como la solución de la ecuación de difusión (por ejemplo, en términos de la ecuación de calor ),
con condición inicial . Esta formulación de la representación del espacio de escala L significa que es posible interpretar los valores de intensidad de la imagen f como una "distribución de temperatura" en el plano de la imagen y que el proceso que genera la representación del espacio de escala en función de t corresponde a la difusión de calor en el plano de la imagen a lo largo del tiempo t (suponiendo que la conductividad térmica del material sea igual a la constante ½ elegida arbitrariamente). Aunque esta conexión puede parecer superficial para un lector que no esté familiarizado con las ecuaciones diferenciales , es de hecho el caso de que la principal formulación del espacio de escala en términos de no mejora de los extremos locales se expresa en términos de una condición de signo en derivadas parciales en el 2 + Volumen 1-D generado por el espacio de escala, por lo tanto dentro del marco de ecuaciones diferenciales parciales . Además, un análisis detallado del caso discreto muestra que la ecuación de difusión proporciona un vínculo unificador entre los espacios de escala continuos y discretos, que también se generaliza a los espacios de escala no lineales, por ejemplo, utilizando difusión anisotrópica . Por lo tanto, se puede decir que la forma principal de generar un espacio de escala es mediante la ecuación de difusión, y que el núcleo de Gauss surge como la función de Green de esta ecuación diferencial parcial específica.
Motivaciones
La motivación para generar una representación en el espacio de escala de un conjunto de datos dado se origina en la observación básica de que los objetos del mundo real están compuestos de diferentes estructuras a diferentes escalas . Esto implica que los objetos del mundo real, en contraste con las entidades matemáticas idealizadas como puntos o líneas , pueden aparecer de diferentes formas dependiendo de la escala de observación. Por ejemplo, el concepto de "árbol" es apropiado a escala de metros, mientras que conceptos como hojas y moléculas son más apropiados a escalas más finas. Para un sistema de visión por computadora que analiza una escena desconocida, no hay forma de saber a priori qué escalas son apropiadas para describir las estructuras interesantes en los datos de la imagen. Por lo tanto, el único enfoque razonable es considerar descripciones en múltiples escalas para poder capturar las variaciones de escala desconocidas que pueden ocurrir. Llevada al límite, una representación de espacio de escala considera representaciones en todas las escalas. [9]
Otra motivación para el concepto de espacio de escala se origina en el proceso de realizar una medición física en datos del mundo real. Para extraer cualquier información de un proceso de medición, uno tiene que aplicar operadores de tamaño no infinitesimal a los datos. En muchas ramas de la informática y las matemáticas aplicadas, el tamaño del operador de medición no se tiene en cuenta en el modelado teórico de un problema. La teoría del espacio de escala, por otro lado, incorpora explícitamente la necesidad de un tamaño no infinitesimal de los operadores de imagen como parte integral de cualquier medición, así como de cualquier otra operación que dependa de una medición del mundo real. [5]
Existe un estrecho vínculo entre la teoría del espacio de escala y la visión biológica. Muchas operaciones en el espacio de escala muestran un alto grado de similitud con los perfiles de campo receptivo registrados en la retina de los mamíferos y las primeras etapas en la corteza visual. En este sentido, el marco de la escala-espacio puede verse como un paradigma teóricamente bien fundado para la visión temprana, que además ha sido probado a fondo mediante algoritmos y experimentos. [4] [9]
Derivados gaussianos
En cualquier escala en el espacio de escala, podemos aplicar operadores derivados locales a la representación del espacio de escala:
Debido a la propiedad conmutativa entre el operador derivado y el operador de suavizado gaussiano, tales derivadas del espacio de escala pueden calcularse de manera equivalente convolucionando la imagen original con operadores derivados gaussianos. Por esta razón, a menudo también se les conoce como derivados gaussianos :
La unicidad de los operadores derivados de Gauss como operaciones locales derivadas de una representación del espacio de escala puede obtenerse mediante derivaciones axiomáticas similares a las que se utilizan para derivar la unicidad del kernel de Gauss para el suavizado del espacio de escala. [4] [22]
Interfaz visual
Estos operadores derivados de Gauss pueden, a su vez, combinarse mediante operadores lineales o no lineales en una mayor variedad de tipos diferentes de detectores de características, que en muchos casos pueden modelarse bien mediante geometría diferencial . Específicamente, la invariancia (o más apropiadamente la covarianza ) a las transformaciones geométricas locales, como las rotaciones o las transformaciones afines locales, puede obtenerse considerando invariantes diferenciales bajo la clase apropiada de transformaciones o, alternativamente, normalizando los operadores derivados de Gauss a un marco de coordenadas determinado localmente. desde, por ejemplo, una orientación preferida en el dominio de la imagen, o aplicando una transformación afín local preferida a un parche de imagen local (ver el artículo sobre adaptación de formas afines para más detalles).
Cuando los operadores derivados de Gauss y los invariantes diferenciales se utilizan de esta manera como detectores de características básicas a múltiples escalas, las primeras etapas no comprometidas del procesamiento visual a menudo se denominan interfaz visual . Este marco general se ha aplicado a una gran variedad de problemas en la visión por ordenador, incluyendo la detección de características , la clasificación de elementos , segmentación de la imagen , comparación de imágenes , de estimación de movimiento , el cálculo de la forma de las señales y de reconocimiento de objetos . El conjunto de operadores derivados de Gauss hasta un cierto orden se denomina a menudo N-jet y constituye un tipo básico de característica dentro del marco del espacio de escala.
Ejemplos de detectores
Siguiendo la idea de expresar operaciones visuales en términos de invariantes diferenciales calculados a múltiples escalas utilizando operadores derivados de Gauss, podemos expresar un detector de bordes a partir del conjunto de puntos que satisfacen el requisito de que la magnitud del gradiente
debe asumir un máximo local en la dirección del gradiente
Al calcular la geometría diferencial, se puede demostrar [4] que este detector de borde diferencial se puede expresar de manera equivalente a partir de los cruces por cero del invariante diferencial de segundo orden.
que satisfacen la siguiente condición de signo en un invariante diferencial de tercer orden:
De manera similar, los detectores de manchas de múltiples escalas en cualquier escala fija determinada [23] [9] se pueden obtener a partir de los máximos y mínimos locales del operador laplaciano (también conocido como el laplaciano de gaussiano )
o el determinante de la matriz de Hesse
De manera análoga, los detectores de esquina y los detectores de crestas y valles pueden expresarse como máximos, mínimos o cruces por cero locales de invariantes diferenciales de múltiples escalas definidos a partir de derivadas gaussianas. Las expresiones algebraicas para los operadores de detección de esquinas y crestas son, sin embargo, algo más complejas y se remite al lector a los artículos sobre detección de esquinas y detección de crestas para obtener más detalles.
Las operaciones de espacio de escala también se han utilizado con frecuencia para expresar métodos de grueso a fino, en particular para tareas como la coincidencia de imágenes y la segmentación de imágenes de múltiples escalas .
Selección de escala
La teoría presentada hasta ahora describe un marco bien fundado para representar estructuras de imágenes a múltiples escalas. En muchos casos, sin embargo, también es necesario seleccionar escalas apropiadas localmente para un análisis más detallado. Esta necesidad de selección de escala se origina por dos razones principales; (i) los objetos del mundo real pueden tener un tamaño diferente, y este tamaño puede ser desconocido para el sistema de visión, y (ii) la distancia entre el objeto y la cámara puede variar, y esta información de distancia también puede ser desconocida a priori . Una propiedad muy útil de la representación del espacio de escala es que las representaciones de imágenes se pueden hacer invariantes a las escalas, realizando una selección de escala local automática [9] [10] [23] [24] [25] [26] [27] [28] basado en máximos (o mínimos ) locales sobre escalas de derivadas normalizadas en escala
dónde es un parámetro que está relacionado con la dimensionalidad de la característica de la imagen. Esta expresión algebraica para operadores derivados de Gauss normalizados a escala se origina en la introducción de-derivadas normalizadas según
- y
Se puede demostrar teóricamente que un módulo de selección de escala que funcione de acuerdo con este principio satisfará la siguiente propiedad de covarianza de escala : si para un cierto tipo de característica de imagen se asume un máximo local en una imagen determinada a una escala determinada, luego bajo un cambio de escala de la imagen por un factor de escala el máximo local sobre escalas en la imagen reescalada se transformará al nivel de escala . [23]
Detección de características invariantes de escala
Siguiendo este enfoque de derivadas gamma-normalizadas, se puede demostrar que diferentes tipos de detectores de características de escala adaptativa e invariante de escala [9] [10] [23] [24] [25] [29] [30] [27] pueden ser expresado para tareas tales como reconocimiento de regiones , la detección de la esquina , la detección de cresta , detección de bordes y la detección del punto de interés espacio-temporal (ver los artículos específicos sobre estos temas para las descripciones en profundidad de cómo se formulan estos detectores de rasgos invariante en escala). Además, los niveles de escala obtenidos a partir de la selección automática de escala se pueden utilizar para determinar regiones de interés para la posterior adaptación de formas afines [31] para obtener puntos de interés afines invariantes [32] [33] o para determinar niveles de escala para calcular descriptores de imágenes asociados , tales como como chorros N adaptados a escala local .
Trabajos recientes han demostrado que también se pueden realizar operaciones más complejas, como el reconocimiento de objetos invariantes en escala , mediante el cálculo de descriptores de imágenes locales (N-chorros o histogramas locales de direcciones de gradiente) en puntos de interés adaptados a la escala obtenidos de la escala. extremos espaciales del operador laplaciano normalizado (ver también transformada característica invariante de escala [34] ) o el determinante del hessiano (ver también SURF ); [35] ver también el artículo de Scholarpedia sobre la transformación de características invariantes de escala [36] para una perspectiva más general de los enfoques de reconocimiento de objetos basados en respuestas de campo receptivo [19] [37] [38] [39] en términos de operadores derivados de Gauss o aproximaciones de los mismos.
Representaciones de múltiples escalas relacionadas
Una pirámide de imágenes es una representación discreta en la que se muestrea un espacio de escala tanto en el espacio como en la escala. Para la invariancia de escala, los factores de escala deben muestrearse exponencialmente, por ejemplo, como potencias enteras de 2 o √ 2 . Cuando se construye correctamente, la relación de las frecuencias de muestreo en el espacio y la escala se mantiene constante de modo que la respuesta al impulso sea idéntica en todos los niveles de la pirámide. [40] [41] [42] [43] Rápido, O (N), existen algoritmos para calcular una pirámide de imagen invariante a escala, en la que la imagen o señal se suaviza repetidamente y luego se submuestrea. Los valores para el espacio de escala entre muestras de pirámides se pueden estimar fácilmente mediante la interpolación dentro y entre escalas y permitiendo estimaciones de escala y posición con precisión de subresolución. [43]
En una representación del espacio de escala, la existencia de un parámetro de escala continuo hace posible rastrear los cruces por cero sobre las escalas que conducen a la denominada estructura profunda . Para las características definidas como cruces por cero de invariantes diferenciales , el teorema de la función implícita define directamente trayectorias a través de escalas, [4] [44] y en aquellas escalas donde ocurren las bifurcaciones , el comportamiento local puede ser modelado por la teoría de la singularidad . [4] [44] [45] [46] [47]
Las extensiones de la teoría del espacio de escala lineal se refieren a la formulación de conceptos de espacio de escala no lineal más comprometidos con propósitos específicos. [48] [49] Estos espacios de escala no lineales a menudo parten de la formulación de difusión equivalente del concepto de espacio de escala, que posteriormente se amplía de forma no lineal. Se han formulado un gran número de ecuaciones de evolución de esta manera, motivadas por diferentes requisitos específicos (ver las referencias de libros antes mencionadas para más información). Debe notarse, sin embargo, que no todos estos espacios de escala no lineales satisfacen requisitos teóricos "agradables" similares a los del concepto de espacio de escala de Gauss lineal. Por lo tanto, a veces pueden ocurrir artefactos inesperados y uno debe tener mucho cuidado de no usar el término "espacio de escala" para cualquier tipo de familia de imágenes de un solo parámetro.
El espacio de escala afín (gaussiano) proporciona una extensión de primer orden del espacio isotrópico de escala gaussiana . [4] Una motivación para esta extensión se origina en la necesidad común de computar descriptores de imágenes sujetos a objetos del mundo real que se ven bajo un modelo de cámara en perspectiva . Para manejar localmente tales deformaciones no lineales, la invariancia parcial (o más correctamente la covarianza ) a las deformaciones afines locales se puede lograr considerando núcleos gaussianos afines con sus formas determinadas por la estructura de la imagen local, [31] ver el artículo sobre adaptación de formas afines para teoría y algoritmos. De hecho, este espacio de escala afín también se puede expresar a partir de una extensión no isótropa de la ecuación de difusión lineal (isótropa), sin dejar de estar dentro de la clase de ecuaciones diferenciales parciales lineales .
Existe una extensión más general del modelo de espacio de escala gaussiano a espacios de escala afines y espacio-temporales. [4] [31] [18] [19] [50] Además de las variabilidades sobre la escala, que la teoría del espacio de escala original fue diseñada para manejar, esta teoría generalizada del espacio de escala [19] también comprende otros tipos de variabilidades causadas por transformaciones geométricas en el proceso de formación de la imagen, incluidas las variaciones en la dirección de visión aproximadas por transformaciones afines locales, y los movimientos relativos entre objetos en el mundo y el observador, aproximados por transformaciones galileanas locales. Esta teoría generalizada del espacio de escala conduce a predicciones sobre los perfiles de campo receptivo en buen acuerdo cualitativo con los perfiles de campo receptivo medidos por registros celulares en visión biológica. [51] [52] [50] [53]
Existen fuertes relaciones entre la teoría del espacio de escala y la teoría de ondículas , aunque estas dos nociones de representación multiescala se han desarrollado a partir de premisas algo diferentes. También se ha trabajado en otros enfoques de múltiples escalas , como las pirámides y una variedad de otros núcleos, que no explotan ni requieren los mismos requisitos que las verdaderas descripciones de espacios de escala.
Relaciones con la visión biológica y la audición
Existen relaciones interesantes entre la representación del espacio de escala y la visión y el oído biológicos. Los estudios neurofisiológicos de la visión biológica han demostrado que existen perfiles de campo receptivo en la retina y la corteza visual de los mamíferos , que pueden ser bien modelados por operadores lineales derivados de Gauss, en algunos casos también complementados por un modelo de espacio de escala afín no isotrópico, un espacio -Modelo de escala-espacio temporal y / o combinaciones no lineales de dichos operadores lineales. [18] [51] [52] [50] [53] [54] [55] [56] [57]
Con respecto a la audición biológica, existen perfiles de campo receptivo en el colículo inferior y la corteza auditiva primaria que pueden ser bien modelados por campos receptivos espectrotemporales que pueden ser bien modelados por derivadas gaussianas sobre frecuencias logarítmicas y transformadas de Fourier en ventana a lo largo del tiempo con las funciones de ventana siendo núcleos temporales de espacio de escala. [58] [59]
Problemas de implementación
Al implementar el suavizado de espacio de escala en la práctica, hay una serie de enfoques diferentes que se pueden tomar en términos de suavizado gaussiano continuo o discreto, implementación en el dominio de Fourier, en términos de pirámides basadas en filtros binomiales que se aproximan al gaussiano o usando filtros recursivos . Se dan más detalles sobre esto en un artículo separado sobre la implementación del espacio de escala .
Ver también
- Diferencia de gaussianos
- Función gaussiana
- mipmapping
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- ^ Young RA, Lesperance RM, Meyer WW (2001) El modelo derivado de Gauss para la visión espacio-temporal: I. Modelo cortical. Escupió. Vis. 14: 261-319
- ^ Young RA Lesperance RM (2001) El modelo derivado de Gauss para la visión espacio-temporal: II. Datos corticales. Escupió. Vis. 14: 321-389
- ^ T. Lindeberg y A. Friberg "Modelos computacionales idealizados de campos receptivos auditivos", PLOS ONE, 10 (3): e0119032, páginas 1-58, 2015
- ^ T. Lindeberg y A. Friberg (2015) "Teoría del espacio de escala para señales auditivas", Proc. SSVM 2015: Métodos de variación y espacio de escala en visión por computadora, Springer LNCS 9087: 3-15.
Otras lecturas
- Lindeberg, Tony (2008). "Espacio de escala" . En Benjamin Wah (ed.). Enciclopedia de Ciencias e Ingeniería de la Computación . IV . John Wiley e hijos. págs. 2495-2504. doi : 10.1002 / 9780470050118.ecse609 . ISBN 978-0470050118.
- Lindeberg, Tony: Teoría del espacio de escala: una herramienta básica para analizar estructuras a diferentes escalas, en J. of Applied Statistics, 21 (2), págs. 224-270, 1994. (tutorial en pdf más extenso sobre el espacio de escala)
- Lindeberg, Tony: Scale-space: Un marco para manejar estructuras de imágenes a múltiples escalas, Proc. Escuela de Computación del CERN, 96 (8): 27-38, 1996.
- Romeny, Bart ter Haar: Introducción a la teoría del espacio-escala: análisis de imágenes geométricas multiescala, Tutorial VBC '96, Hamburgo, Alemania, Cuarta Conferencia Internacional sobre Visualización en Computación Biomédica.
- Florack, Luc, Romeny, Bart ter Haar, Viergever, Max y Koenderink, Jan: Espacio de escala lineal, Journal of Mathematical Imaging and Vision volumen 4: 325–351, 1994.
- Lindeberg, Tony, "Principios para la selección automática de escalas", en: B. Jähne (et al., Eds.), Handbook on Computer Vision and Applications, volumen 2, págs. 239-274, Academic Press, Boston, EE. UU., 1999. (tutorial sobre enfoques para la selección automática de escalas)
- Lindeberg, Tony: "Teoría del espacio de escala" En: Encyclopedia of Mathematics, ( Michiel Hazewinkel , ed) Kluwer, 1997.
- Copia de seguridad de archivos web: conferencia sobre el espacio de escala en la Universidad de Massachusetts (pdf)
enlaces externos
- Tutorial interactivo de Java Powers of Ten en el sitio web Molecular Expressions
- Recurso en línea con campos receptivos de espacio-tiempo de neuronas visuales proporcionado por Izumi Ohzawa en la Universidad de Osaka
- Detección de picos en datos 1D utilizando un enfoque de espacio de escala Código MATLAB con licencia BSD