En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de módulos , el lema de Schanuel , que lleva el nombre de Stephen Schanuel , permite comparar hasta qué punto los módulos dejan de ser proyectivos . Es útil para definir el operador de Heller en la categoría estable y para dar descripciones elementales de cambio de dimensión .
Declaración
El lema de Schanuel es la siguiente declaración:
Si 0 → K → P → M → 0 y 0 → K ' → P ' → M → 0 son secuencias cortas y exactas de módulos R y P y P 'son proyectivos, entonces K ⊕ P ' es isomorfo a K '⊕ P .
Prueba
Defina el siguiente submódulo de P ⊕ P ', donde φ: P → M y φ': P '→ M :
El mapa π: X → P , donde π se define como la proyección de la primera coordenada de X en P , es sobreyectiva. Dado que φ 'es sobreyectiva, para cualquier p P , uno puede encontrar una q P 'tal que φ ( p ) = φ' ( q ). Esto da ( p , q ) X con π ( p , q ) = p . Ahora examine el núcleo del mapa π:
Podemos concluir que hay una breve secuencia exacta
Desde P es proyectivo esta secuencia se divide, por lo que X ≅ K '⊕ P . De manera similar, podemos escribir otro mapa π: X → P ', y el mismo argumento anterior muestra que hay otra secuencia corta exacta
y así X ≅ P '⊕ K . La combinación de las dos equivalencias de X da el resultado deseado.
Secuencias largas y exactas
El argumento anterior también puede generalizarse a secuencias largas y exactas . [1]
Orígenes
Stephen Schanuel descubrió el argumento de Irving Kaplansky 's álgebra homológica curso en la Universidad de Chicago en el otoño de 1958. Kaplansky escribe:
- Al principio del curso formé una resolución proyectiva de un solo paso de un módulo y comenté que si el kernel era proyectivo en una resolución, era proyectivo en todas. Agregué que, aunque la declaración era tan simple y directa, pasaría un tiempo antes de que lo demostráramos. Steve Schanuel habló y me dijo a mí ya la clase que era bastante fácil, y luego esbozó lo que se conoce como "el lema de Schanuel". [2]
Notas
- ^ Lam, TY (1999). Conferencias sobre Módulos y Anillos . Saltador. ISBN 0-387-98428-3.págs. 165-167.
- ^ Kaplansky, Irving (1972). Campos y Anillos . Conferencias de Chicago en Matemáticas (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Chicago. págs. 165-168. ISBN 0-226-42451-0. Zbl 1001.16500 .