Módulo proyectivo
En matemáticas , particularmente en álgebra , la clase de módulos proyectivos amplía la clase de módulos libres (es decir, módulos con vectores base ) sobre un anillo , manteniendo algunas de las propiedades principales de los módulos libres. A continuación se muestran varias caracterizaciones equivalentes de estos módulos.
Cada módulo libre es un módulo proyectivo, pero lo contrario no se mantiene en algunos anillos, como los anillos de Dedekind que no son dominios ideales principales . Sin embargo, cada módulo proyectivo es un módulo libre si el anillo es un dominio ideal principal, como los números enteros , o un anillo polinomial (este es el teorema de Quillen-Suslin ).
Los módulos proyectivos se introdujeron por primera vez en 1956 en el influyente libro Homological Algebra de Henri Cartan y Samuel Eilenberg .
La definición teórica de la categoría habitual es en términos de la propiedad de elevación que se transfiere de módulos libres a proyectivos: un módulo P es proyectivo si y solo si para cada homomorfismo de módulo sobreyectivo f : N ↠ M y cada homomorfismo de módulo g : P → M , existe un módulo de homomorfismo h : P → N tal que f h = g . (No requerimos que el homomorfismo de elevación h sea único; esta no es una propiedad universal.)
La ventaja de esta definición de "proyectiva" es que se puede llevar a cabo en categorías más generales que las categorías de módulos: no necesitamos una noción de "objeto libre". También se puede dualizar, dando lugar a módulos inyectivos . La propiedad de elevación también puede reformularse como cada morfismo de a factores a través de cada epimorfismo a . Así, por definición, los módulos proyectivos son precisamente los objetos proyectivos en la categoría de módulos R.
es una secuencia exacta dividida . Es decir, para cada homomorfismo de módulo sobreyectivo f : B ↠ P existe un mapa de sección , es decir, un homomorfismo de módulo h : P → B tal que f h = id P. En ese caso, h ( P ) es un sumando directo de B , h es un isomorfismo de P a h ( P ) , y h f es unproyección sobre el sumando h ( P ) . Equivalentemente,