En matemáticas combinatorias , una permutación alterna (o permutación en zigzag ) del conjunto {1, 2, 3, ..., n } es una permutación (arreglo) de esos números de modo que cada entrada sea alternativamente mayor o menor que la entrada anterior . Por ejemplo, las cinco permutaciones alternas de {1, 2, 3, 4} son:
Distintos autores utilizan el término permutación alterna de forma ligeramente diferente: algunos requieren que la segunda entrada en una permutación alterna sea más grande que la primera (como en los ejemplos anteriores), otros requieren que la alternancia se invierta (para que la segunda entrada sea más pequeña que el primero, luego el tercero más grande que el segundo, y así sucesivamente), mientras que otros llaman a ambos tipos por el nombre de permutación alterna.
La determinación del número A n de permutaciones alternas del conjunto {1, ..., n } se llama problema de André . Los números A n se conocen como números de Euler , números en zigzag o números arriba/abajo . Cuando n es par el número A n se conoce como número secante , mientras que si n es impar se conoce como número tangente . Estos últimos nombres provienen del estudio de la función generadora de la secuencia.
Se dice que una permutación c 1 , ..., c n es alterna si sus elementos ascienden y descienden alternativamente. Por lo tanto, cada entrada, excepto la primera y la última, debe ser más grande o más pequeña que sus dos vecinas. Algunos autores utilizan el término alternancia para referirse únicamente a las permutaciones "arriba-abajo" para las cuales c 1 < c 2 > c 3 < ... , llamando a las permutaciones "abajo-arriba" que satisfacen c 1 > c 2 < c 3 > ... por el nombre alternando al revés. Otros autores invierten esta convención, o usan la palabra "alternando" para referirse a las permutaciones tanto de arriba hacia abajo como de abajo hacia arriba.
Existe una correspondencia uno a uno simple entre las permutaciones de abajo hacia arriba y de arriba hacia abajo: reemplazar cada entrada c i con n + 1 - c i invierte el orden relativo de las entradas.
Por convención, en cualquier esquema de denominación, las permutaciones únicas de longitud 0 (la permutación del conjunto vacío ) y 1 (la permutación que consta de una sola entrada 1) se consideran alternas.