En matemáticas , la prueba de la segunda derivada parcial es un método de cálculo multivariable que se utiliza para determinar si un punto crítico de una función es un mínimo local , un máximo o un punto silla .
La prueba
Funciones de dos variables
Suponga que f ( x , y ) es una función real diferenciable de dos variables cuyas segundas derivadas parciales existen y son continuas . La matriz de Hesse H de f es la matriz de 2 × 2 de derivadas parciales de f :
- .
Defina D ( x , y ) como determinante
- ,
de H . Finalmente, suponga que ( a , b ) es un punto crítico de f (es decir, f x ( a , b ) = f y ( a , b ) = 0). Luego, la prueba de la segunda derivada parcial afirma lo siguiente: [1]
- Si D ( a , b )> 0 y f xx ( un , b )> 0 entonces ( un , b ) es un mínimo local de f .
- Si D ( a , b )> 0 y f xx ( a , b ) <0, entonces ( a , b ) es un máximo local de f .
- Si D ( a , b ) <0, entonces ( a , b ) es un punto silla de f .
- Si D ( a , b ) = 0, entonces la prueba de la segunda derivada no es concluyente y el punto ( a , b ) podría ser cualquiera de un mínimo, un máximo o un punto de silla.
A veces se utilizan otras versiones equivalentes de la prueba. Tenga en cuenta que en los casos 1 y 2, el requisito de que f xx f yy - f xy 2 sea positivo en ( x , y ) implica que f xx y f yy tienen el mismo signo allí. Por lo tanto, la segunda condición, que f xx sea mayor (o menor) que cero, podría ser equivalentemente que f yy o tr H = f xx + f yy sea mayor (o menor) que cero en ese punto.
Funciones de muchas variables
Para una función f de tres o más variables, hay una generalización de la regla anterior. En este contexto, en lugar de examinar el determinante de la matriz de Hesse, se deben observar los valores propios de la matriz de Hesse en el punto crítico. La siguiente prueba se puede aplicar en cualquier punto crítico a para el que la matriz de Hesse sea invertible :
- Si el hessiano es positivo definido (de manera equivalente, tiene todos los valores propios positivos) en a , entonces f alcanza un mínimo local en a .
- Si el hessiano es negativo definido (de manera equivalente, tiene todos los valores propios negativos) en a , entonces f alcanza un máximo local en a .
- Si el hessiano tiene valores propios positivos y negativos, entonces a es un punto de silla para f (y de hecho esto es cierto incluso si a es degenerado).
En los casos que no se enumeran anteriormente, la prueba no es concluyente. [2]
Para funciones de tres o más variables, el determinante de la hessiana no proporciona suficiente información para clasificar el punto crítico, porque el número de condiciones de segundo orden conjuntamente suficientes es igual al número de variables, y la condición de signo sobre el determinante de la arpillera es sólo una de las condiciones. Tenga en cuenta que en el caso de una variable, la condición de Hesse simplemente da la prueba de la segunda derivada habitual .
En el caso de dos variables, y son los principales menores del Hessian. Las dos primeras condiciones enumeradas anteriormente en los signos de estos menores son las condiciones para la definición positiva o negativa del arpillera. Para el caso general de un número arbitrario n de variables, existen n condiciones de signo en los n principales menores de la matriz hessiana que en conjunto son equivalentes a la definición positiva o negativa del hessiano ( criterio de Sylvester ): para un mínimo local, todos los los menores principales deben ser positivos, mientras que para un máximo local, los menores con un número impar de filas y columnas deben ser negativos y los menores con un número par de filas y columnas deben ser positivos. Consulte Matriz de hessian # Hessian bordeado para una discusión que generaliza estas reglas al caso de optimización con restricciones de igualdad.
Ejemplos de
Encontrar y clasificar los puntos críticos de la función.
- ,
primero establecemos las derivadas parciales
- y
igual a cero y resolver las ecuaciones resultantes simultáneamente para encontrar los cuatro puntos críticos
- y .
Para clasificar los puntos críticos, examinamos el valor del determinante D ( x , y ) del hessiano de f en cada uno de los cuatro puntos críticos. Tenemos
Ahora conectamos todos los diferentes valores críticos que encontramos para etiquetarlos; tenemos
Por lo tanto, la prueba de la segunda derivada parcial indica que f ( x , y ) tiene puntos silla en (0, −1) y (1, −1) y tiene un máximo local en desde . En el punto crítico restante (0, 0), la prueba de la segunda derivada es insuficiente y se deben utilizar pruebas de orden superior u otras herramientas para determinar el comportamiento de la función en este punto. (De hecho, se puede demostrar que f toma valores tanto positivos como negativos en vecindarios pequeños alrededor de (0, 0) y, por lo tanto, este punto es un punto silla de f .)
Notas
- ^ Stewart 2004 , p. 803 .
- ^ Kurt Endl / Wolfgang Luh: Análisis II . Aula-Verlag 1972, 7a edición 1989, ISBN 3-89104-455-0 , págs. 248-258 (alemán)
Referencias
- James Stewart (2005). Cálculo multivariable: conceptos y contextos . Brooks / Cole. ISBN 0-534-41004-9.
enlaces externos
- Mínimos y máximos relativos - Paul's Online Math Notes - Calc III Notes (Universidad Lamar)
- Weisstein, Eric W. "Prueba de la segunda derivada" . MathWorld .