Matriz semi-ortogonal

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En álgebra lineal , una matriz semi-ortogonal es una matriz no cuadrada con entradas reales donde: si el número de columnas excede el número de filas, entonces las filas son vectores ortonormales; pero si el número de filas excede el número de columnas, entonces las columnas son vectores ortonormales.

De manera equivalente, una matriz A no cuadrada es semi-ortogonal si

${\displaystyle A^{T}A=I{\text{ or }}AA^{T}=I.\,}$^{[1] [2] [3]}

A continuación, considere el caso en el que A es una matriz m  ×  n para m  >  n . Luego

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{T}A&=I_{n},\\{\text{and }}AA^{T}&={\text{the matrix of the orthogonal projection onto the column space of }}A.\end{aligned}}}$

El hecho de que implica la propiedad de isometría${\textstyle A^{T}A=I_{n}}$

${\displaystyle \|Ax\|_{2}=\|x\|_{2}\,}$para todo x en R ⁿ .

Por ejemplo, es una matriz semi-ortogonal.${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

Una matriz semi-ortogonal A es semi-unitaria (ya sea A ^† A  =  I o AA ^†  =  I ) e invertible a la izquierda o invertible a la derecha (invertible a la izquierda si tiene más filas que columnas, de lo contrario invertible a la derecha). Como transformación lineal aplicada desde la izquierda, una matriz semi-ortogonal con más filas que columnas conserva el producto escalar de los vectores y, por lo tanto, actúa como una isometría del espacio euclidiano, como una rotación o una reflexión.

Referencias

1. Abadir, KM, Magnus, JR (2005). Álgebra de matrices. Prensa de la Universidad de Cambridge.
2. Zhang, Xian-Da. (2017). Análisis y aplicaciones de matrices. Prensa de la Universidad de Cambridge.
3. Povey, Daniel y col. (2018). "Factorización de matriz semi-ortogonal de rango bajo para redes neuronales profundas". Interspeech.

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