Polinomios de Legendre

En ciencias físicas y matemáticas , los polinomios de Legendre (llamados así por Adrien-Marie Legendre , quien los descubrió en 1782) son un sistema de polinomios completos y ortogonales , con un gran número de propiedades matemáticas y numerosas aplicaciones. Se pueden definir de muchas maneras, y las diversas definiciones resaltan diferentes aspectos y sugieren generalizaciones y conexiones a diferentes estructuras matemáticas y aplicaciones físicas y numéricas.

Estrechamente relacionados con los polinomios de Legendre están los polinomios de Legendre asociados , las funciones de Legendre, las funciones de Legendre del segundo tipo y las funciones de Legendre asociadas .

En este enfoque, los polinomios se definen como un sistema ortogonal con respecto a la función de peso sobre el intervalo . Es decir, es un polinomio de grado tal que${\ estilo de visualización w (x) = 1}$${\ estilo de visualización [-1,1]}$${\ estilo de visualización P_ {n} (x)}$${\ estilo de visualización n}$

Esto determina los polinomios completamente hasta un factor de escala general, que está fijado por la estandarización . Que esta es una definición constructiva se ve así: es el único polinomio correctamente estandarizado de grado 0. debe ser ortogonal a , que conduce a , y se determina exigiendo ortogonalidad a y , y así sucesivamente. se fija exigiendo ortogonalidad a todos con . Esto da condiciones que, junto con la estandarización, fija todos los coeficientes en . Con trabajo, todos los coeficientes de cada polinomio se pueden determinar sistemáticamente, lo que lleva a la representación explícita en potencias de que se da a continuación.${\ estilo de visualización P_ {n} (1) = 1}$${\displaystyle P_{0}(x)=1}$${\displaystyle P_{1}(x)}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle P_{1}(x)=x}$${\ Displaystyle P_ {2} (x)}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle P_{m}}$${\ estilo de visualización m <n}$${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización P_ {n} (1) = 1}$${\ estilo de visualización n+1}$${\ estilo de visualización P_ {n} (x)}$${\ estilo de visualización x}$

Los seis primeros polinomios de Legendre