El conjugado de Sobolev de p para, donde n es la dimensionalidad espacial, es
Este es un parámetro importante en las desigualdades de Sobolev .
Surge la pregunta de si u del espacio de Sobolev pertenece a para algunos q > p . Más específicamente, ¿cuándo control ? Es fácil comprobar que la siguiente desigualdad
no puede ser cierto para q arbitrario . Considerar, función infinitamente diferenciable con soporte compacto. Introducir. Tenemos eso:
La desigualdad (*) para da como resultado la siguiente desigualdad para
Si luego dejando yendo a cero o al infinito obtenemos una contradicción. Por lo tanto, la desigualdad (*) solo podría ser cierta para
- ,
que es el conjugado de Sobolev.