La ley del cuadrado-cubo (o ley del cubo-cuadrado ) es un principio matemático, aplicado en una variedad de campos científicos, que describe la relación entre el volumen y el área de la superficie a medida que el tamaño de una forma aumenta o disminuye. Fue descrito por primera vez en 1638 por Galileo Galilei en sus Dos nuevas ciencias como "... la proporción de dos volúmenes es mayor que la proporción de sus superficies". [1]
Este principio establece que, a medida que una forma aumenta de tamaño, su volumen crece más rápido que su superficie. Cuando se aplica al mundo real, este principio tiene muchas implicaciones que son importantes en campos que van desde la ingeniería mecánica hasta la biomecánica . Ayuda a explicar fenómenos que incluyen por qué los mamíferos grandes como los elefantes tienen más dificultades para enfriarse que los pequeños como los ratones, y por qué construir rascacielos cada vez más altos es cada vez más difícil.
La ley del cuadrado-cubo se puede establecer de la siguiente manera:
Cuando un objeto experimenta un aumento proporcional de tamaño, su nueva superficie es proporcional al cuadrado del multiplicador y su nuevo volumen es proporcional al cubo del multiplicador.
Representado matemáticamente: [2]
donde es la superficie original y es la nueva superficie.
donde es el volumen original, es el nuevo volumen, es la longitud original y es la nueva longitud.
Por ejemplo, un cubo con una longitud de lado de 1 metro tiene una superficie de 6 m 2 y un volumen de 1 m 3 . Si las dimensiones del cubo se multiplicaran por 2, su área de superficie se multiplicaría por el cuadrado de 2 y se convertiría en 24 m 2 . Su volumen se multiplicaría por el cubo de 2 y se convertiría en 8 m 3 .
El cubo original (lados de 1 m) tiene una relación de superficie a volumen de 6: 1. El cubo más grande (2 m de lados) tiene una relación de superficie a volumen de (24/8) 3: 1. A medida que aumentan las dimensiones, el volumen seguirá creciendo más rápido que el área de la superficie. De ahí la ley del cuadrado-cubo. Este principio se aplica a todos los sólidos. [3]
Cuando un objeto físico mantiene la misma densidad y se escala, su volumen y masa aumentan en el cubo del multiplicador, mientras que su área de superficie aumenta solo en el cuadrado del mismo multiplicador. Esto significaría que cuando la versión más grande del objeto se acelera al mismo ritmo que el original, se ejercerá más presión sobre la superficie del objeto más grande.
Considere un ejemplo simple de un cuerpo de masa, M, que tiene una aceleración, a, y un área de superficie, A, de la superficie sobre la que actúa la fuerza de aceleración. La fuerza debida a la aceleración, y la presión de empuje, .
Ahora, consideremos el objeto ser exagerada por un factor multiplicador = x de modo que tenga una nueva masa, y la superficie sobre la que la fuerza está actuando tiene una nueva área de superficie, .
La nueva fuerza debida a la aceleración y la presión de empuje resultante,
Por lo tanto, simplemente aumentar el tamaño de un objeto, manteniendo el mismo material de construcción (densidad) y la misma aceleración, aumentaría el empuje en el mismo factor de escala. Esto indicaría que el objeto tendría menos capacidad para resistir el estrés y sería más propenso a colapsar mientras acelera.
Esta es la razón por la que los vehículos grandes se desempeñan mal en las pruebas de choque y por qué hay límites en la altura de los edificios. De manera similar, cuanto más grande es un objeto, menos otros objetos resistirían su movimiento, lo que provocaría su desaceleración.
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Si un animal se escalara isométricamente en una cantidad considerable, su fuerza muscular relativa se reduciría severamente, ya que la sección transversal de sus músculos aumentaría en el cuadrado del factor de escala mientras que su masa aumentaría en el cubo del factor de escala. Como resultado de esto, las funciones cardiovasculares y respiratorias se verían gravemente afectadas.
En el caso de los animales voladores, la carga alar aumentaría si se aumentaran isométricamente y, por lo tanto, tendrían que volar más rápido para ganar la misma cantidad de sustentación . La resistencia del aire por unidad de masa también es mayor para los animales más pequeños (lo que reduce la velocidad terminal ), por lo que un animal pequeño como una hormiga no puede resultar gravemente herido por el impacto con el suelo después de caer desde cualquier altura.
Como afirma JBS Haldane , los animales grandes no se parecen a los animales pequeños: un elefante no puede confundirse con un ratón de mayor tamaño. Esto se debe a la escala alométrica : los huesos de un elefante son necesariamente proporcionalmente mucho más grandes que los huesos de un ratón, porque deben tener un peso proporcionalmente mayor. Haldane ilustra esto en su ensayo seminal de 1928 Sobre ser el tamaño correcto al referirse a los gigantes alegóricos : "... considere a un hombre de 60 pies de altura ... Papa gigante y Pagan gigante en el progreso del peregrino ilustrado :... Estos monstruos ... pesaban 1000 veces más que [un humano normal]. Cada pulgada cuadrada de un hueso gigante tenía que soportar 10 veces el peso que soporta una pulgada cuadrada de hueso humano. Como el hueso del muslo humano promedio se rompe por debajo de aproximadamente 10 veces el peso humano, Pope y Pagan se habrían roto los muslos cada vez que dieran un paso ". [5] En consecuencia, la mayoría de los animales muestran escamas alométricas con mayor tamaño, tanto entre especies como Dentro de una especie Las criaturas gigantes que se ven en las películas de monstruos (por ejemplo, Godzilla , King Kong y Them! ) tampoco son realistas, dado que su gran tamaño las obligaría a colapsar.
Sin embargo, la flotabilidad del agua niega hasta cierto punto los efectos de la gravedad. Por lo tanto, las criaturas marinas pueden crecer a tamaños muy grandes sin las mismas estructuras musculoesqueléticas que se requerirían de las criaturas terrestres de tamaño similar, y no es una coincidencia que los animales más grandes que hayan existido en la tierra sean los animales acuáticos .
La tasa metabólica de los animales se escala con un principio matemático llamado escala de un cuarto de potencia [6] de acuerdo con la teoría metabólica de la ecología .
La transferencia de masa, como la difusión a objetos más pequeños, como las células vivas, es más rápida que la difusión a objetos más grandes, como animales enteros. Por lo tanto, en los procesos químicos que tienen lugar en una superficie, en lugar de a granel, el material dividido más fino es más activo. Por ejemplo, la actividad de un catalizador heterogéneo es mayor cuando se divide en partículas más finas.
La producción de calor de un proceso químico escala con el cubo de la dimensión lineal (altura, ancho) del recipiente, pero el área de la superficie del recipiente escala solo con el cuadrado de la dimensión lineal. En consecuencia, los recipientes más grandes son mucho más difíciles de enfriar. Además, las tuberías a gran escala para transferir fluidos calientes son difíciles de simular a pequeña escala, porque el calor se transfiere más rápido desde las tuberías más pequeñas. Si no se tiene esto en cuenta en el diseño del proceso, se puede producir una fuga térmica catastrófica .
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