Todas estas son manipulaciones legales para sumas de series convergentes, pero 1 − 1 + 1 − 1 + · · · no es una serie convergente.
No obstante, hay muchos métodos de suma que respetan estas manipulaciones y que asignan una "suma" a la serie de Grandi. Dos de los métodos más simples son la suma de Cesàro y la suma de Abel . [1]
El primer método riguroso para sumar series divergentes fue publicado por Ernesto Cesàro en 1890. La idea básica es similar al enfoque probabilístico de Leibniz: esencialmente, la suma de Cesàro de una serie es el promedio de todas sus sumas parciales. Formalmente se calcula, para cada n , la media σ n de las primeras n sumas parciales, y se toma el límite de estas medias de Cesàro cuando n tiende a infinito.
Esta secuencia de medias aritméticas converge a 1 ⁄ 2 , por lo que la suma de Cesàro de Σ a k es 1 ⁄ 2 . De manera equivalente, se dice que el límite de Cesàro de la sucesión 1, 0, 1, 0, … es 1 ⁄ 2 . [2]
La suma de Cesàro de 1 + 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + · · · es 2 ⁄ 3 . Entonces, la suma de Cesàro de una serie se puede alterar insertando infinitos 0, así como infinitos corchetes. [3]
La suma de Abel es similar al intento de definición de Euler de sumas de series divergentes, pero evita las objeciones de Callet y N. Bernoulli al construir precisamente la función a usar. De hecho, Euler probablemente pretendía limitar su definición a series de potencias, [5] y en la práctica la usó casi exclusivamente [6] en una forma que ahora se conoce como el método de Abel.