En lógica matemática , el problema de álgebra de la escuela secundaria de Tarski fue una pregunta planteada por Alfred Tarski . Se pregunta si hay identidades que involucren suma , multiplicación y exponenciación sobre los números enteros positivos que no se puedan probar usando once axiomas sobre estas operaciones que se enseñan en matemáticas a nivel de escuela secundaria. La cuestión fue resuelta en 1980 por Alex Wilkie , quien demostró que existen tales identidades indemostrables.
Tarski consideró los siguientes once axiomas sobre la suma ('+'), la multiplicación ('·') y la potenciación como axiomas estándar que se enseñan en la escuela secundaria:
Estos once axiomas, a veces llamados identidades de la escuela secundaria , [1] están relacionados con los axiomas de una categoría cerrada bicartesiana o un anillo exponencial . [2] El problema de Tarski se convierte entonces en: ¿hay identidades que involucren solo suma, multiplicación y exponenciación, que sean verdaderas para todos los enteros positivos, pero que no se puedan probar usando solo los axiomas 1–11?
Dado que los axiomas parecen enumerar todos los hechos básicos acerca de las operaciones en cuestión, no es inmediatamente obvio que deba haber algo que pueda demostrarse cierto que uno puede afirmar usando solo las tres operaciones, pero que no puede probarse con los axiomas. Sin embargo, probar afirmaciones aparentemente inocuas puede requerir pruebas largas utilizando solo los once axiomas anteriores. Considere la siguiente prueba de que ( x + 1) 2 = x 2 + 2 · x + 1:
La longitud de las pruebas no es un problema; las pruebas de identidades similares a las anteriores para cosas como ( x + y ) 100 tomarían muchas líneas, pero en realidad involucrarían poco más que la prueba anterior.
La lista de once axiomas se puede encontrar explícitamente escrita en las obras de Richard Dedekind , [3] aunque obviamente fueron conocidos y utilizados por los matemáticos mucho antes. Sin embargo, Dedekind fue el primero que pareció preguntarse si estos axiomas eran de alguna manera suficientes para decirnos todo lo que podríamos querer saber sobre los números enteros. Alfred Tarski, [1] [4], planteó la cuestión sobre una base firme como un problema de lógica y teoría de modelos en algún momento de la década de 1960, y en la década de 1980 se conoció como el problema de álgebra de la escuela secundaria de Tarski.