El teorema de Tellegen es uno de los teoremas más poderosos de la teoría de redes . La mayoría de los teoremas de distribución de energía y los principios extremos de la teoría de redes pueden derivarse de él. Fue publicado en 1952 por Bernard Tellegen . [1] Fundamentalmente, el teorema de Tellegen da una relación simple entre magnitudes que satisfacen las leyes de Kirchhoff de la teoría de circuitos eléctricos .
El teorema de Tellegen es aplicable a una multitud de sistemas de red. Los supuestos básicos para los sistemas son la conservación del flujo de grandes cantidades ( ley de corriente de Kirchhoff , KCL) y la unicidad de los potenciales en los nodos de la red ( ley de voltaje de Kirchhoff , KVL). El teorema de Tellegen proporciona una herramienta útil para analizar sistemas de redes complejos, incluidos circuitos eléctricos, redes biológicas y metabólicas , redes de transporte por tuberías y redes de procesos químicos .
El teorema
Considere una red agrupada arbitraria cuyo gráfico posee ramas y nodos. En una red eléctrica, las ramas son componentes de dos terminales y los nodos son puntos de interconexión. Suponga que a cada rama del gráfico le asignamos arbitrariamente una diferencia de potencial de rama y una corriente de rama por , y suponga que se miden con respecto a direcciones de referencia asociadas elegidas arbitrariamente . Si las diferencias de potencial de la rama satisfacer todas las restricciones impuestas por KVL y si las corrientes de rama satisfacer todas las restricciones impuestas por KCL, entonces
El teorema de Tellegen es extremadamente general; es válido para cualquier red agrupada que contenga cualquier elemento, lineal o no lineal , pasivo o activo , variable en el tiempo o invariante en el tiempo . La generalidad se extiende cuando y son operaciones lineales sobre el conjunto de diferencias de potencial y sobre el conjunto de corrientes de rama (respectivamente) ya que las operaciones lineales no afectan a KVL y KCL. Por ejemplo, la operación lineal puede ser la media o la transformada de Laplace . De manera más general, los operadores que preservan KVL se denominan operadores de voltaje de Kirchhoff, los operadores que preservan KCL se denominan operadores de corriente de Kirchhoff y los operadores que conservan ambos se denominan simplemente operadores de Kirchhoff. Estos operadores no tienen por qué ser necesariamente lineales para que se mantenga el teorema de Tellegen. [2]
El conjunto de corrientes también se puede muestrear en un momento diferente del conjunto de diferencias de potencial ya que KVL y KCL son verdaderos en todos los instantes de tiempo. Otra extensión es cuando el conjunto de diferencias potenciales es de una red y el conjunto de corrientes es de una red completamente diferente, siempre que las dos redes tengan la misma topología (misma matriz de incidencia ). El teorema de Tellegen sigue siendo cierto. Esta extensión del teorema de Tellegen conduce a muchos teoremas relacionados con las redes de dos puertos. [3]
Definiciones
Necesitamos introducir algunas definiciones de red necesarias para proporcionar una prueba compacta.
Matriz de incidencia: La matriz se llama matriz de incidencia de nodo a rama para los elementos de la matriz ser
Un nodo de referencia o datum se introduce para representar el entorno y se conecta a todos los nodos y terminales dinámicos. La matriz , donde la fila que contiene los elementos del nodo de referencia se elimina, se llama matriz de incidencia reducida.
Las leyes de conservación (KCL) en forma de matriz vectorial:
La condición de unicidad para los potenciales (KVL) en forma de matriz vectorial:
dónde son los potenciales absolutos en los nodos del nodo de referencia .
Prueba
Usando KVL:
porque por KCL. Entonces:
Aplicaciones
Los análogos de red se han construido para una amplia variedad de sistemas físicos y han demostrado ser extremadamente útiles para analizar su comportamiento dinámico. El área de aplicación clásica de la teoría de redes y el teorema de Tellegen es la teoría de circuitos eléctricos. Se utiliza principalmente para diseñar filtros en aplicaciones de procesamiento de señales.
Una aplicación más reciente del teorema de Tellegen se encuentra en el área de procesos químicos y biológicos. Los supuestos para circuitos eléctricos (leyes de Kirchhoff) se generalizan para sistemas dinámicos que obedecen las leyes de la termodinámica irreversible. La topología y la estructura de las redes de reacción (mecanismos de reacción, redes metabólicas) se pueden analizar mediante el teorema de Tellegen.
Otra aplicación del teorema de Tellegen es determinar la estabilidad y la optimización de sistemas de procesos complejos, como plantas químicas o sistemas de producción de petróleo. El teorema de Tellegen se puede formular para sistemas de proceso que utilizan nodos de proceso, terminales, conexiones de flujo y que permiten sumideros y fuentes para la producción o destrucción de grandes cantidades.
Una formulación para el teorema de sistemas de proceso de Tellegen:
dónde son los términos de producción, son las conexiones de los terminales, y son los términos de almacenamiento dinámico para las variables extensivas.
Referencias
- Referencias en línea
- ^ Tellegen, BDH (1952). "Un teorema general de redes con aplicaciones". Informes de investigación de Philips . 7 : 259-269.
- ^ Penfield, P. (1970). "Una forma generalizada del teorema de Tellegen" (PDF) . Transacciones IEEE sobre teoría de circuitos . CT-17: 302–305 . Consultado el 8 de noviembre de 2016 .
- ^ Teorema de Tellegen y redes eléctricas por Paul Penfield, Jr., Robert Spence y Simon Duinker, The MIT Press, Cambridge, MA, 1970
- Referencias generales
- Teoría básica de circuitos por CA Desoer y ES Kuh, McGraw-Hill, Nueva York, 1969
- "Teorema de Tellegen y desigualdades termodinámicas", GF Oster y CA Desoer, J. Theor. Biol 32 (1971), 219–241
- "Métodos de red en modelos de producción", Donald Watson, Networks , 10 (1980), 1-15