Matriz de transformación

Objeto central en álgebra lineal; mapeo de vectores a vectores

En álgebra lineal , las transformaciones lineales se pueden representar mediante matrices . Si es un mapeo transformación lineal a y es un vector columna con entradas, entonces${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle n}$

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$

para alguna matriz , llamada matriz de transformación de ^{[ cita requerida ]} . Tenga en cuenta que tiene filas y columnas, mientras que la transformación es de a . Hay expresiones alternativas de matrices de transformación que involucran vectores de fila que son preferidas por algunos autores. ^{[1] [2]}${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle T}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Usos

Las matrices permiten que las transformaciones lineales arbitrarias se muestren en un formato coherente, adecuado para el cálculo. ^[3] Esto también permite que las transformaciones se compongan fácilmente (multiplicando sus matrices).

Las transformaciones lineales no son las únicas que se pueden representar mediante matrices. Algunas transformaciones que no son lineales en un espacio euclidiano n-dimensional R ⁿ se pueden representar como transformaciones lineales en el espacio n + unidimensional R ^{n +1} . Estos incluyen tanto transformaciones afines (como la traducción ) como transformaciones proyectivas . Por esta razón, las matrices de transformación 4 × 4 se utilizan ampliamente en gráficos por computadora en 3D . Estas matrices de transformación n + 1-dimensionales se denominan, según su aplicación, matrices de transformación afines ,matrices de transformación proyectiva , o más generalmente matrices de transformación no lineales . Con respecto a un n matriz -dimensional, un n matriz + 1-dimensional se puede describir como una matriz aumentada .

En las ciencias físicas , una transformación activa es aquella que realmente cambia la posición física de un sistema y tiene sentido incluso en ausencia de un sistema de coordenadas, mientras que una transformación pasiva es un cambio en la descripción de coordenadas del sistema físico ( cambio de base ). La distinción entre transformaciones activas y pasivas es importante. Por defecto, por transformación , los matemáticos generalmente se refieren a transformaciones activas, mientras que los físicos podrían significar cualquiera de las dos.

Dicho de otra manera, una transformación pasiva se refiere a la descripción del mismo objeto visto desde dos marcos de coordenadas diferentes.

Encontrar la matriz de una transformación

Si uno tiene una transformación lineal en forma funcional, es fácil determinar la matriz de transformación A transformando cada uno de los vectores de la base estándar por T , luego insertando el resultado en las columnas de una matriz. En otras palabras,${\displaystyle T(x)}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}T(\mathbf {e} _{1})&T(\mathbf {e} _{2})&\cdots &T(\mathbf {e} _{n})\end{bmatrix}}}$

Por ejemplo, la función es una transformación lineal. La aplicación del proceso anterior (suponga que n = 2 en este caso) revela que${\displaystyle T(x)=5x}$

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=5\mathbf {x} =5I\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}5&0\\0&5\end{bmatrix}}\mathbf {x} }$

La representación matricial de vectores y operadores depende de la base elegida; una matriz similar resultará de una base alternativa. Sin embargo, el método para encontrar los componentes sigue siendo el mismo.

Para elaborar, el vector se puede representar en vectores base, con coordenadas :${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle E={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle [\mathbf {v} ]_{E}={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +v_{n}\mathbf {e} _{n}=\sum v_{i}\mathbf {e} _{i}=E[\mathbf {v} ]_{E}}$

Ahora, exprese el resultado de la matriz de transformación A sobre , en la base dada:${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}A(\mathbf {v} )&=A\left(\sum v_{i}\mathbf {e} _{i}\right)=\sum {v_{i}A(\mathbf {e} _{i})}\\&={\begin{bmatrix}A(\mathbf {e} _{1})&A(\mathbf {e} _{2})&\cdots &A(\mathbf {e} _{n})\end{bmatrix}}[\mathbf {v} ]_{E}=A\cdot [\mathbf {v} ]_{E}\\[3pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Los elementos de la matriz A se determinan para una base E dada aplicando A a cada y observando el vector de respuesta${\displaystyle a_{i,j}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{j}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &(v_{j}=1)&\cdots &0\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$

${\displaystyle A\mathbf {e} _{j}=a_{1,j}\mathbf {e} _{1}+a_{2,j}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n,j}\mathbf {e} _{n}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}.}$

Esta ecuación define los elementos buscados, , de j columna -ésimo de la matriz A . ^[4]${\displaystyle a_{i,j}}$

Eigenbasis y matriz diagonal

Artículos principales: Matriz diagonal y Autovalores y autovectores

Sin embargo, existe una base especial para un operador en el que los componentes forman una matriz diagonal y, por lo tanto, la complejidad de la multiplicación se reduce an . Siendo medios diagonales que todos los coeficientes , pero son ceros dejando sólo un término en la suma anterior. Los elementos diagonales supervivientes,, se conocen como valores propios y se designan con en la ecuación definitoria, que se reduce a . La ecuación resultante se conoce como ecuación de valor propio . ^[5] Los autovectores y autovalores se derivan de él a través del polinomio característico .${\displaystyle a_{i,j}}$${\displaystyle a_{i,i}}$${\textstyle \sum a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle a_{i,i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle A\mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}}$

Con diagonalización , es a menudo posible a traducir desde y hacia eigenbases.

Ejemplos en 2 dimensiones

Las transformaciones geométricas más comunes que mantienen el origen fijo son lineales, incluida la rotación, el escalado, el corte, la reflexión y la proyección ortogonal; si una transformación afín no es una traducción pura, mantiene algún punto fijo, y ese punto puede elegirse como origen para hacer que la transformación sea lineal. En dos dimensiones, las transformaciones lineales se pueden representar utilizando una matriz de transformación de 2 × 2.

Estirar

Un estiramiento en el plano xy es una transformación lineal que agranda todas las distancias en una dirección particular por un factor constante, pero no afecta las distancias en la dirección perpendicular. Solo consideramos tramos a lo largo del eje xy el eje y. Un tramo a lo largo del eje x tiene la forma x ' = kx ; y ' = y para alguna constante positiva k . (Tenga en cuenta que si k es> 1, entonces esto realmente es un "estiramiento"; si k es <1, técnicamente es una "compresión", pero todavía lo llamamos estiramiento. Además, si k = 1, entonces la transformación es una identidad, es decir, no tiene ningún efecto).

La matriz asociada con un estiramiento por un factor k a lo largo del eje x viene dada por:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

De manera similar, un estiramiento por un factor k a lo largo del eje y tiene la forma x ' = x ; y ' = ky , por lo que la matriz asociada con esta transformación es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&k\end{bmatrix}}}$

Apretando

Si los dos tramos anteriores se combinan con valores recíprocos, entonces la matriz de transformación representa un mapeo de compresión :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&1/k\end{bmatrix}}.}$

Un cuadrado con lados paralelos a los ejes se transforma en un rectángulo que tiene la misma área que el cuadrado. El estiramiento y la compresión recíprocos dejan el área invariable.

Rotación

Para la rotación en un ángulo θ en el sentido de las agujas del reloj alrededor del origen, la forma funcional es y . Escrito en forma de matriz, esto se convierte en: ^[6]${\displaystyle x'=x\cos \theta +y\sin \theta }$${\displaystyle y'=-x\sin \theta +y\cos \theta }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

De manera similar, para una rotación en sentido antihorario sobre el origen, la forma funcional es y la forma matricial es:${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

Estas fórmulas asumen que el eje x apunta a la derecha y el eje y apunta hacia arriba.

Esquila

Para el mapeo de corte (visualmente similar a la inclinación), hay dos posibilidades.

Una cizalla paralela al eje x tiene y . Escrito en forma de matriz, esto se convierte en:${\displaystyle x'=x+ky}$${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

Una cizalla paralela al eje y tiene y , que tiene forma de matriz:${\displaystyle x'=x}$${\displaystyle y'=y+kx}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\k&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

Reflexión

Artículo principal: transformación de los jefes de hogar

Para la reflexión sobre una línea que pasa por el origen, sea ​​un vector en la dirección de la línea. Luego usa la matriz de transformación:${\displaystyle \mathbf {l} =(l_{x},l_{y})}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {l} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}l_{x}^{2}-l_{y}^{2}&2l_{x}l_{y}\\2l_{x}l_{y}&l_{y}^{2}-l_{x}^{2}\end{bmatrix}}}$

Proyección ortogonal

Más información: proyección ortogonal

Para proyectar un vector ortogonalmente sobre una línea que pasa por el origen, sea ​​un vector en la dirección de la línea. Luego usa la matriz de transformación:${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y})}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}\end{bmatrix}}}$

Al igual que con las reflexiones, la proyección ortogonal sobre una línea que no pasa por el origen es una transformación afín, no lineal.

Las proyecciones paralelas también son transformaciones lineales y se pueden representar simplemente mediante una matriz. Sin embargo, las proyecciones en perspectiva no lo son, y para representarlas con una matriz se pueden utilizar coordenadas homogéneas .

Ejemplos en gráficos por computadora en 3D

Rotación

La matriz para rotar un ángulo θ alrededor de cualquier eje definido por el vector unitario ( l , m , n ) es ^[7]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}ll(1-\cos \theta )+\cos \theta &ml(1-\cos \theta )-n\sin \theta &nl(1-\cos \theta )+m\sin \theta \\lm(1-\cos \theta )+n\sin \theta &mm(1-\cos \theta )+\cos \theta &nm(1-\cos \theta )-l\sin \theta \\ln(1-\cos \theta )-m\sin \theta &mn(1-\cos \theta )+l\sin \theta &nn(1-\cos \theta )+\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

Reflexión

Artículo principal: transformación de los jefes de hogar

Para reflejar un punto a través de un plano (que pasa por el origen), se puede usar , donde es la matriz identidad de 3 × 3 y es el vector unitario tridimensional para el vector normal del plano. Si la norma L2 de , y es la unidad, la matriz de transformación se puede expresar como:${\displaystyle ax+by+cz=0}$${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {N} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{bmatrix}}}$

Tenga en cuenta que estos son casos particulares de una reflexión de jefe de hogar en dos y tres dimensiones. Una reflexión sobre una línea o plano que no pasa por el origen no es una transformación lineal, es una transformación afín , como una matriz de transformación afín 4 × 4, se puede expresar de la siguiente manera (asumiendo que la normal es un vector unitario) :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac&-2ad\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc&-2bd\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}&-2cd\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}}$

donde para algún momento en el avión, o de manera equivalente, .${\displaystyle d=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {N} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$

Si la cuarta componente del vector es 0 en lugar de 1, entonces solo se refleja la dirección del vector y su longitud permanece sin cambios, como si estuviera reflejada a través de un plano paralelo que pasa por el origen. Esta es una propiedad útil ya que permite la transformación tanto de vectores posicionales como de vectores normales con la misma matriz. Consulte las coordenadas homogéneas y las transformaciones afines a continuación para obtener más explicaciones.

Componer e invertir transformaciones

Una de las principales motivaciones para usar matrices para representar transformaciones lineales es que las transformaciones se pueden componer e invertir fácilmente .

La composición se logra mediante la multiplicación de matrices . Los vectores de fila y columna son operados por matrices, filas a la izquierda y columnas a la derecha. Dado que el texto se lee de izquierda a derecha, se prefieren los vectores de columna cuando se componen las matrices de transformación:

Si A y B son las matrices de dos transformaciones lineales, entonces el efecto de aplicar primero A y luego B a un vector columna viene dado por:${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {A} \mathbf {x} )=(\mathbf {BA} )\mathbf {x} .}$

En otras palabras, la matriz de la transformación combinada A seguida de B es simplemente el producto de las matrices individuales.

Cuando A es una matriz invertible, existe una matriz A ⁻¹ que representa una transformación que "deshace" A ya que su composición con A es la matriz identidad . En algunas aplicaciones prácticas, la inversión se puede calcular utilizando algoritmos de inversión generales o realizando operaciones inversas (que tienen una interpretación geométrica obvia, como rotar en dirección opuesta) y luego componerlas en orden inverso. Las matrices de reflexión son un caso especial porque son sus propias inversas y no necesitan calcularse por separado.

Otros tipos de transformaciones

Transformaciones afines

Efecto de aplicar varias matrices de transformación afín 2D en un cuadrado unitario. Tenga en cuenta que las matrices de reflexión son casos especiales de la matriz de escala.

Reproducir medios

Las transformaciones afines en el plano 2D se pueden realizar en tres dimensiones. La traslación se realiza cortando en paralelo al plano zy, y la rotación se realiza alrededor del eje z.

Para representar transformaciones afines con matrices, podemos usar coordenadas homogéneas . Esto significa representar un 2-vector ( x , y ) como un 3-vector ( x , y , 1), y de manera similar para dimensiones más altas. Con este sistema, la traducción se puede expresar con multiplicación de matrices. La forma funcional se convierte en:${\displaystyle x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&t_{x}\\0&1&t_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.}$

Todas las transformaciones lineales ordinarias se incluyen en el conjunto de transformaciones afines y pueden describirse como una forma simplificada de transformaciones afines. Por lo tanto, cualquier transformación lineal también se puede representar mediante una matriz de transformación general. Este último se obtiene expandiendo la matriz de transformación lineal correspondiente en una fila y columna, llenando el espacio extra con ceros excepto la esquina inferior derecha, que debe establecerse en 1. Por ejemplo, la matriz de rotación en sentido antihorario de arriba se convierte en :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Al utilizar matrices de transformación que contienen coordenadas homogéneas, las traslaciones se vuelven lineales y, por lo tanto, se pueden entremezclar perfectamente con todos los demás tipos de transformaciones. La razón es que el plano real se asigna al plano w = 1 en el espacio proyectivo real, por lo que la traslación en el espacio euclidiano real se puede representar como una cizalladura en el espacio proyectivo real. Aunque una traslación es una transformación no lineal en un espacio euclidiano 2-D o 3-D descrito por coordenadas cartesianas (es decir, no se puede combinar con otras transformaciones conservando la conmutatividad y otras propiedades), se convierte en un 3- Espacio proyectivo D o 4-D descrito por coordenadas homogéneas, una transformación lineal simple (uncizalla ).

Pueden obtenerse transformaciones más afines mediante la composición de dos o más transformaciones afines. Por ejemplo, dada una traslación T ' con vector una rotación R en un ángulo θ en sentido antihorario , una escala S con factores y una traslación T del vector, el resultado M de T'RST es: ^[8]${\displaystyle (t'_{x},t'_{y}),}$${\displaystyle (s_{x},s_{y})}$${\displaystyle (t_{x},t_{y}),}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}s_{x}\cos \theta &-s_{y}\sin \theta &t_{x}s_{x}\cos \theta -t_{y}s_{y}\sin \theta +t'_{x}\\s_{x}\sin \theta &s_{y}\cos \theta &t_{x}s_{x}\sin \theta +t_{y}s_{y}\cos \theta +t'_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

Cuando se utilizan transformaciones afines, el componente homogéneo de un vector de coordenadas (normalmente llamado w ) nunca se modificará. Por lo tanto, se puede asumir con seguridad que siempre es 1 e ignorarlo. Sin embargo, esto no es cierto cuando se utilizan proyecciones en perspectiva.

Proyección en perspectiva

Artículo principal: Proyección en perspectiva

Más información: modelo de cámara estenopeica

Comparación de los efectos de aplicar matrices de transformación 2D afines y de perspectiva en un cuadrado unitario.

Otro tipo de transformación, de importancia en la infografía 3D , es la proyección en perspectiva . Mientras que las proyecciones paralelas se utilizan para proyectar puntos en el plano de la imagen a lo largo de líneas paralelas, la proyección en perspectiva proyecta puntos en el plano de la imagen a lo largo de líneas que emanan de un solo punto, llamado centro de proyección. Esto significa que un objeto tiene una proyección más pequeña cuando está lejos del centro de proyección y una proyección más grande cuando está más cerca (ver también función recíproca ).

La proyección en perspectiva más simple utiliza el origen como centro de proyección y el plano en como plano de la imagen. La forma funcional de esta transformación es entonces ; . Podemos expresar esto en coordenadas homogéneas como:${\displaystyle z=1}$${\displaystyle x'=x/z}$${\displaystyle y'=y/z}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}}$

Después de realizar la multiplicación de matrices , el componente homogéneo será igual al valor de y los otros tres no cambiarán. Por lo tanto, para volver al plano real debemos realizar la división homogénea o división en perspectiva dividiendo cada componente por :${\displaystyle w_{c}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle w_{c}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{w_{c}}}{\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}}$

Se pueden componer proyecciones en perspectiva más complicadas combinando ésta con rotaciones, escalas, traslaciones y cizallas para mover el plano de la imagen y el centro de proyección donde se desee.

Ver también

• Proyección 3D
• Cambio de base
• Rectificación de imagen
• Transformación rígida
• Transformación (función)
• Geometría de transformación

Referencias

1. Rafael Artzy (1965) Geometría lineal
2. JWP Hirschfeld (1979) Geometría proyectiva de campos finitos , Clarendon Press
3. Suave, James E. (2007). "Transformaciones y factorizaciones matriciales" . Álgebra de matrices: teoría, cálculos y aplicaciones en estadística . Saltador. ISBN 9780387708737.
4. Acercándose, James (2010). "Capítulo 7.3 Ejemplos de operadores" (PDF) . Herramientas matemáticas para la física . ISBN  978-0486482125. Consultado el 1 de enero de 2012 .
5. Acercándose, James (2010). "Capítulo 7.9: Autovalores y autovectores" (PDF) . Herramientas matemáticas para la física . ISBN  978-0486482125. Consultado el 1 de enero de 2012 .
6. http://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-07-dynamics-fall-2009/lecture-notes/MIT16_07F09_Lec03.pdf
7. Szymanski, John E. (1989). Matemáticas básicas para ingenieros electrónicos: modelos y aplicaciones . Taylor y Francis. pag. 154. ISBN 0278000681.
8. Cédric Jules (25 de febrero de 2015). "Horneado de matrices de transformación 2D" .

Enlaces externos

• Ejemplos prácticos de la página Matrix en POV-Ray
• Página de referencia - Rotación de ejes
• Calculadora de transformación lineal
• Applet de transformación : genere matrices a partir de transformaciones 2D y viceversa.
• Transformación de coordenadas en rotación en 2D
• Diversión de Excel: cree gráficos en 3D a partir de una hoja de cálculo