En el análisis numérico de subcampos matemáticos , la interpolación tricúbica es un método para obtener valores en puntos arbitrarios en el espacio 3D de una función definida en una cuadrícula regular . El enfoque implica aproximar la función localmente mediante una expresión de la forma
Esta forma tiene 64 coeficientes ; requerir que la función tenga un valor dado o una derivada direccional dada en un punto coloca una restricción lineal sobre los 64 coeficientes.
El término interpolación tricúbica se usa en más de un contexto; algunos experimentos miden tanto el valor de una función como sus derivadas espaciales, y es deseable interpolar conservando los valores y las derivadas medidas en los puntos de la cuadrícula. Esos proporcionan 32 restricciones sobre los coeficientes, y se pueden proporcionar otras 32 restricciones al exigir la suavidad de las derivadas más altas. [1]
En otros contextos, podemos obtener los 64 coeficientes considerando una cuadrícula de 3 × 3 × 3 de pequeños cubos que rodean el cubo dentro del cual evaluamos la función, y ajustando la función en los 64 puntos de las esquinas de esta cuadrícula.
El artículo de interpolación cúbica indica que el método es equivalente a una aplicación secuencial de interpoladores cúbicos unidimensionales. Dejar ser el valor de un polinomio cúbico monovariable (por ejemplo, restringido por valores, , , , desde puntos de cuadrícula consecutivos) evaluados en . En muchos casos útiles, estos polinomios cúbicos tienen la forma para algún vector que es una función de solo. El interpolador tricúbico es equivalente a:
dónde y .
A primera vista, puede parecer más conveniente utilizar las 21 llamadas para descrito anteriormente en lugar del matriz descrita en Lekien y Marsden. [1] Sin embargo, una implementación adecuada usando un formato escaso para la matriz (que es bastante escaso) hace que este último sea más eficiente. Este aspecto es aún más pronunciado cuando se necesita interpolación en varias ubicaciones dentro del mismo cubo. En este caso, elLa matriz se usa una vez para calcular los coeficientes de interpolación para todo el cubo. Luego, los coeficientes se almacenan y se utilizan para la interpolación en cualquier lugar dentro del cubo. En comparación, el uso secuencial de integradores unidimensionales tiene un rendimiento extremadamente bajo para interpolaciones repetidas porque cada paso computacional debe repetirse para cada nueva ubicación.