Modelado de turbulencias

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Supercomputación de Boeing

El modelado de turbulencia es la construcción y el uso de un modelo matemático para predecir los efectos de la turbulencia . Los flujos turbulentos son comunes en la mayoría de los escenarios de la vida real, incluido el flujo de sangre a través del sistema cardiovascular, ^[1] el flujo de aire sobre el ala de un avión, ^[2] el reingreso de vehículos espaciales, ^{[3] entre} otros. A pesar de décadas de investigación, no existe una teoría analítica para predecir la evolución de estos flujos turbulentos. Las ecuaciones que gobiernan los flujos turbulentos solo pueden resolverse directamente para casos simples de flujo. Para la mayoría de los flujos turbulentos de la vida real, las simulaciones CFDutilizar modelos turbulentos para predecir la evolución de la turbulencia. Estos modelos de turbulencia son ecuaciones constitutivas simplificadas que predicen la evolución estadística de los flujos turbulentos. ^[4]

Problema de cierre

Las ecuaciones de Navier-Stokes gobiernan la velocidad y la presión del flujo de un fluido. En un flujo turbulento, cada una de estas cantidades puede descomponerse en una parte media y una parte fluctuante. Al promediar las ecuaciones se obtienen las ecuaciones de Navier-Stokes (RANS) promediadas de Reynolds , que gobiernan el flujo medio. Sin embargo, la no linealidad de las ecuaciones de Navier-Stokes significa que las fluctuaciones de velocidad todavía aparecen en las ecuaciones RANS, en el término no lineal de la aceleración convectiva. Este término se conoce como la tensión de Reynolds , . ^[5] Su efecto sobre el flujo medio es como el de un término de tensión, como por presión o viscosidad.${\displaystyle -\rho {\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}}$${\displaystyle R_{ij}}$

Para obtener ecuaciones que contengan solo la velocidad media y la presión, necesitamos cerrar las ecuaciones RANS modelando el término de tensión de Reynolds como una función del flujo medio, eliminando cualquier referencia a la parte fluctuante de la velocidad. Este es el problema del cierre .${\displaystyle R_{ij}}$

Viscosidad Eddy

Joseph Valentin Boussinesq fue el primero en atacar el problema del cierre, ^[6] al introducir el concepto de viscosidad parásita . En 1877 Boussinesq propuso relacionar las tensiones de turbulencia con el flujo medio para cerrar el sistema de ecuaciones. Aquí se aplica la hipótesis de Boussinesq para modelar el término de tensión de Reynolds. Tenga en cuenta que se ha introducido una nueva constante de proporcionalidad , la viscosidad de remolinos de turbulencia. Los modelos de este tipo se conocen como modelos de viscosidad parásita o EVM.${\displaystyle \nu _{t}>0}$

${\displaystyle -{\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}=\nu _{t}\left({\frac {\partial {\overline {v_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {v_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right)-{\frac {2}{3}}k\delta _{ij}}$

Que se puede escribir en taquigrafía como

${\displaystyle -{\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}=2\nu _{t}S_{ij}-{\frac {2}{3}}k\delta _{ij}}$

donde es la tasa media del tensor de deformación${\displaystyle S_{ij}}$

${\displaystyle \nu _{t}}$ es la viscosidad del remolino de la turbulencia

${\displaystyle k={\frac {1}{2}}{\overline {v_{i}'v_{i}'}}}$es la energía cinética de la turbulencia

y es el delta de Kronecker .${\displaystyle \delta _{ij}}$

En este modelo, las tensiones de turbulencia adicionales se dan aumentando la viscosidad molecular con una viscosidad de remolino. ^[7] Esta puede ser una simple viscosidad de remolino constante (que funciona bien para algunos flujos de cizallamiento libres como chorros simétricos axiales, chorros 2-D y capas de mezcla).

El concepto de longitud de mezcla de Prandtl

Más tarde, Ludwig Prandtl introdujo el concepto adicional de longitud de mezcla, ^[8] junto con la idea de una capa límite . Para los flujos turbulentos delimitados por la pared, la viscosidad de los remolinos debe variar con la distancia desde la pared, de ahí la adición del concepto de una 'longitud de mezcla'. En el modelo de flujo delimitado por la pared más simple, la viscosidad parásita viene dada por la ecuación:

${\displaystyle \nu _{t}=\left|{\frac {\partial u}{\partial y}}\right|l_{m}^{2}}$

donde:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}}$ es la derivada parcial de la velocidad en sentido de la corriente (u) con respecto a la dirección normal de la pared (y);

${\displaystyle l_{m}}$ es la longitud de mezcla.

Este modelo simple es la base de la " ley de la pared ", que es un modelo sorprendentemente preciso para campos de flujo unidos (no separados) delimitados por la pared con pequeños gradientes de presión .

Los modelos de turbulencia más generales han evolucionado con el tiempo, con la mayoría de los modelos de turbulencia modernos dados por ecuaciones de campo similares a las ecuaciones de Navier-Stokes .

Modelo de Smagorinsky para la viscosidad eddy de la escala de sub-cuadrícula

Joseph Smagorinsky fue el primero que propuso una fórmula para la viscosidad de los remolinos en los modelos de simulación de remolinos grandes, ^[9] basada en las derivadas locales del campo de velocidad y el tamaño de la cuadrícula local:

${\displaystyle \nu _{t}=\Delta x\Delta y{\sqrt {\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}}}}$

En el contexto de la simulación de grandes remolinos , el modelado de turbulencia se refiere a la necesidad de parametrizar la tensión de la escala de subcuadrícula en términos de características del campo de velocidad filtrado. Este campo se denomina modelado a escala de subcuadrícula .

Modelos Spalart – Allmaras, k –ε y k –ω

La hipótesis de Boussinesq se emplea en los modelos Spalart – Allmaras (S – A), k –ε ( k –epsilon) y k –ω ( k –omega) y ofrece un cálculo de costo relativamente bajo para la viscosidad de turbulencia . El modelo S – A usa solo una ecuación adicional para modelar el transporte de viscosidad de turbulencia, mientras que los modelos k –ε y k –ω usan dos.${\displaystyle \nu _{t}}$

Modelos comunes

La siguiente es una breve descripción de los modelos empleados comúnmente en aplicaciones de ingeniería modernas.

• Spalart – Allmaras (S – A)

El modelo de Spalart-Allmaras ^[10] es un modelo de una ecuación que resuelve una ecuación de transporte modelada para la viscosidad turbulenta de remolino cinemático. El modelo Spalart-Allmaras fue diseñado específicamente para aplicaciones aeroespaciales que involucran flujos delimitados por paredes y se ha demostrado que da buenos resultados para capas límite sujetas a gradientes de presión adversos. También está ganando popularidad en aplicaciones de turbomáquinas. ^{[ cita requerida ]}

• k –ε ( k –epsilon)

El modelo de turbulencia K-épsilon (k-ε) ^[11] es el modelo más común utilizado en dinámica de fluidos computacional (CFD) para simular las características de flujo medio para condiciones de flujo turbulento. Es un modelo de dos ecuaciones que ofrece una descripción general de la turbulencia mediante dos ecuaciones de transporte (PDE). El ímpetu original para el modelo K-épsilon fue mejorar el modelo de longitud de mezcla, así como encontrar una alternativa a la prescripción algebraica de escalas de longitud turbulentas en flujos de complejidad moderada a alta.

• k –ω ( k –omega)

En dinámica de fluidos computacional, el modelo de turbulencia k-omega (k-ω) ^[12] es un modelo de turbulencia común de dos ecuaciones que se utiliza como cierre para las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds (ecuaciones RANS). El modelo intenta predecir la turbulencia mediante dos ecuaciones diferenciales parciales para dos variables, k y ω, siendo la primera variable la energía cinética de la turbulencia (k) mientras que la segunda (ω) es la tasa específica de disipación (de la energía cinética de la turbulencia k en energía térmica interna).

• SST (Transporte de esfuerzo cortante de Menter)

El modelo de turbulencia SST (transporte de esfuerzos cortantes de Menter) ^[13] es un modelo de turbulencia de viscosidad parásita de dos ecuaciones ampliamente utilizado y robusto utilizado en dinámica de fluidos computacional. El modelo combina el modelo de turbulencia k-omega y el modelo de turbulencia K-épsilon de modo que el k-omega se utiliza en la región interior de la capa límite y cambia a k-épsilon en el flujo de cizallamiento libre.

• Modelo de ecuación de tensión de Reynolds

El modelo de ecuación de tensión de Reynolds (RSM), también conocido como modelo de cierre de segundo momento, ^[14] es el enfoque de modelado de turbulencia clásico más completo. Los modelos populares basados ​​en la viscosidad parásita como el modelo k –ε ( k –epsilon) y los modelos k –ω ( k –omega) tienen deficiencias importantes en los flujos de ingeniería complejos. Esto surge debido al uso de la hipótesis de la viscosidad parásita en su formulación. Por ejemplo, en flujos con altos grados de anisotropía, curvatura de línea significativa, separación de flujo, zonas de flujo recirculante o flujos influenciados por efectos rotacionales, el desempeño de tales modelos es insatisfactorio. ^[15]En tales flujos, los modelos de ecuaciones de tensión de Reynolds ofrecen una precisión mucho mayor. ^[dieciséis]

Los cierres basados ​​en la viscosidad de los remolinos no pueden explicar el retorno a la isotropía de la turbulencia, ^[17] observado en los flujos turbulentos en descomposición. Los modelos basados ​​en la viscosidad de Foucault no pueden replicar el comportamiento de los flujos turbulentos en el límite de distorsión rápida, ^[18] donde el flujo turbulento se comporta esencialmente como un medio elástico. ^[19]

Referencias

Notas

1. Sallam, Ahmed; Hwang, Ned (1984). "Hemólisis de glóbulos rojos humanos en un flujo de cizallamiento turbulento: contribución de las tensiones de cizallamiento de Reynolds" . Biorreología . 21 (6): 783–97. doi : 10.3233 / BIR-1984-21605 . PMID  6240286 .
2. Rhie, C; Chow, Li (1983). "Estudio numérico del flujo turbulento más allá de un perfil aerodinámico con separación del borde de fuga" (PDF) . Revista AIAA . 21 (11): 1525-1532. doi : 10,2514 / 3,8284 .
3. Reddy, K; Silva, D; Krishnendu, Sinha (1983). "Simulación hipersónica de flujo turbulento de la carrocería del vehículo de reentrada Fire II" (PDF) . Revista AIAA .
4. Papa, Stephen (2000). Flujos turbulentos .
5. Andersson, Bengt; et al. (2012). Dinámica de fluidos computacional para ingenieros . Cambridge: Cambridge University Press. pag. 83 . ISBN 978-1-107-01895-2.
6. Boussinesq, Joseph (1903). Boussinesq, J. (1903). Thōrie analytique de la chaleur mise en harmonie avec la thermodynamique et avec la thōrie mc̄anique de la lumi_re: Refroidissement et c̄hauffement par rayonnement, conductibilit ̄des tiges, lames et masses cristallines, courants de convection, thōrie mc̄anique de la lumi . Gauthier-Villars.
7. John J. Bertin; Jacques Periaux; Josef Ballmann (1992), Avances en hipersónica: modelado de flujos hipersónicos , ISBN 9780817636630
8. Prandtl, Ludwig (1925). "Bericht uber Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz". Zs. Angew. Matemáticas. Mech . 2 .
9. Smagorinsky, Joseph (1963). "Smagorinsky, Joseph." Experimentos de circulación general con las ecuaciones primitivas: I. El experimento básico " . Monthly Weather Review . 91 (3): 99–164. Doi : 10.1175 / 1520-0493 (1963) 091 <0099: GCEWTP> 2.3.CO; 2 .
10. Spalart, P .; Allmaras, S. (1992). "Un modelo de turbulencia de una ecuación para flujos aerodinámicos". 30º Encuentro y Exposición de Ciencias Aeroespaciales, AIAA . doi : 10.2514 / 6.1992-439 .
11. Hanjalic, K .; Lavado, B. (1972). "Un modelo de tensión de Reynolds de turbulencia y su aplicación a flujos de cizallamiento delgados" . Revista de Mecánica de Fluidos . 52 (4): 609–638. doi : 10.1017 / S002211207200268X .
12. Wilcox, DC (2008). "Formulación del modelo de turbulencia k-omega revisado". Revista AIAA . 46 : 2823-2838. doi : 10.2514 / 1.36541 .
13. Menter, FR (1994). "Modelos de turbulencia de viscosidad de Eddy de dos ecuaciones para aplicaciones de ingeniería" (PDF) . Revista AIAA . 32 (8): 1598–1605. doi : 10.2514 / 3.12149 .
14. Hanjalić, Hanjalić; Launder, Brian (2011). Modelado de turbulencias en la ingeniería y el medio ambiente: rutas de segundo momento hacia el cierre .
15. Mishra, Aashwin; Girimaji, Sharath (2013). "Transferencia de energía entre componentes en turbulencia homogénea incompresible: física multipunto y facilidad para cierres de un punto". Revista de Mecánica de Fluidos . 731 : 639–681. Código bibliográfico : 2013JFM ... 731..639M . doi : 10.1017 / jfm.2013.343 .
16. Papa, Esteban. "Flujos turbulentos". Prensa de la Universidad de Cambridge, 2000.
17. Lumley, John; Newman, Gary (1977). "El retorno a la isotropía de turbulencias homogéneas". Revista de Mecánica de Fluidos . 82 : 161-178. Código bibliográfico : 1977JFM .... 82..161L . doi : 10.1017 / s0022112077000585 .
18. Mishra, Aashwin; Girimaji, Sharath (2013). "Transferencia de energía entre componentes en turbulencia homogénea incompresible: física multipunto y facilidad para cierres de un punto". Revista de Mecánica de Fluidos . 731 : 639–681. Código bibliográfico : 2013JFM ... 731..639M . doi : 10.1017 / jfm.2013.343 .
19. Sagaut, Pierre; Cambon, Claude (2008). Dinámica de turbulencia homogénea .

Otro

• Absi, R. (2019) "Eddy Viscosity and Velocity Profiles in Fully-Developed Turbulent Channel Flows" Fluid Dyn (2019) 54: 137. https://doi.org/10.1134/S0015462819010014
• Townsend, AA (1980) "The Structure of Turbulent Shear Flow" 2nd Edition (Cambridge Monographs on Mechanics), ISBN 0521298199 
• Bradshaw, P. (1971) "Introducción a la turbulencia y su medición" (Pergamon Press), ISBN 0080166210 
• Wilcox CD, (1998), "Turbulence Modeling for CFD" 2nd Ed., (DCW Industries, La Cañada), ISBN 0963605100