En la prueba de hipótesis estadística , un uniformemente más potente ( UMP ) de prueba es una prueba de hipótesis que tiene el mayor poder entre todas las pruebas posibles de un tamaño dado α . Por ejemplo, de acuerdo con el lema de Neyman-Pearson , la prueba de razón de verosimilitud es UMP para probar hipótesis simples (puntuales).
Configuración
Dejar denotar un vector aleatorio (correspondiente a las mediciones), tomado de una familia parametrizada de funciones de densidad de probabilidad o funciones de masa de probabilidad , que depende del parámetro determinista desconocido . El espacio de parámetros se divide en dos conjuntos separados y . Dejar denotar la hipótesis de que , y deja denotar la hipótesis de que . La prueba binaria de hipótesis se realiza mediante una función de prueba..
significa que está en vigor si la medida y eso está en vigor si la medida . Tenga en cuenta que es una cubierta disjunta del espacio de medición.
Definicion formal
Una función de prueba es UMP de tamaño si para cualquier otra función de prueba satisfactorio
tenemos
El teorema de Karlin-Rubin
El teorema de Karlin-Rubin puede considerarse como una extensión del lema de Neyman-Pearson para hipótesis compuestas. [1] Considere una medida escalar que tiene una función de densidad de probabilidad parametrizada por un parámetro escalar θ , y defina la razón de verosimilitud. Si es monótono no decreciente, en , para cualquier par (lo que significa que el mayor es más probable es), luego la prueba de umbral:
- dónde se elige de tal manera que
es la prueba UMP de tamaño α para probar
Tenga en cuenta que exactamente la misma prueba también es UMP para probar
Caso importante: familia exponencial
Aunque el teorema de Karlin-Rubin puede parecer débil debido a su restricción al parámetro escalar y la medición escalar, resulta que existe una gran cantidad de problemas para los que se cumple el teorema. En particular, la familia exponencial unidimensional de funciones de densidad de probabilidad o funciones de masa de probabilidad con
tiene una razón de probabilidad monótona no decreciente en la estadística suficiente , siempre que no es decreciente.
Ejemplo
Dejar denotar iid normalmente distribuido -vectores aleatorios dimensionales con media y matriz de covarianza . Entonces tenemos
que está exactamente en la forma de la familia exponencial que se muestra en la sección anterior, siendo el estadístico suficiente
Por tanto, concluimos que la prueba
es la prueba de tamaño de UMP para las pruebas vs.
Más discusión
Finalmente, observamos que, en general, las pruebas UMP no existen para los parámetros vectoriales o para las pruebas bilaterales (una prueba en la que una hipótesis se encuentra en ambos lados de la alternativa). La razón es que en estas situaciones, la prueba más poderosa de un tamaño dado para un valor posible del parámetro (por ejemplo, para dónde ) es diferente de la prueba más potente del mismo tamaño para un valor diferente del parámetro (por ejemplo, para dónde ). Como resultado, ninguna prueba es uniformemente más poderosa en estas situaciones.
Referencias
Otras lecturas
- Ferguson, TS (1967). "Sec. 5.2: Pruebas uniformemente más potentes ". Estadística matemática: un enfoque teórico de la decisión . Nueva York: Academic Press.
- Estado de ánimo, AM; Graybill, FA; Boes, DC (1974). "Sec. IX.3.2: Pruebas uniformemente más potentes ". Introducción a la teoría de la estadística (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill.
- LL Scharf, Procesamiento estadístico de señales , Addison-Wesley, 1991, sección 4.7.