Escribí, por sugerencia de un colega editor, durante las guerras de los problemas de Monty Hall, un pequeño ensayo sobre notación en teoría de la probabilidad: [1] . Esto también podría resultar útil para los editores de Problemas de dos envolventes. Richard Gill ( charla ) 11:13, 11 de agosto de 2011 (UTC)
Sean A y B variables aleatorias cuya distribución de probabilidad conjunta resume nuestra incertidumbre en cuanto a las cantidades reales a y b en las dos envolventes. No necesito asumir aquí que A es la mitad o el doble de B. Simplemente asumo que A y B son siempre diferentes y que su distribución es simétrica en condiciones de intercambio. Por lo tanto, los siguientes datos pueden utilizarse para dos sobres (todas las versiones simétricas), dos corbatas, tarjetas de dos caras; con o sin probabilidad subjetiva, con o sin expectativas finitas. La derivación es elemental. Los resultados no son sorprendentes. La cuestión es que son resultados generales. Muchas soluciones toman una distribución previa particular a modo de ejemplo y muestran que algunos de estos hechos son ciertos. Esto es un poco insatisfactorio porque no prueba que los resultados siempre tengan que ser verdaderos, por lo que deja una duda en la mente del lector. Por ejemplo, esta es la razón por la que Martin Gardner consideró que ni el problema de Kraithchik ni el TEP estaban adecuadamente resueltos en el momento en que escribió sobre ellos. Sólo había visto ejemplos concretos, pero esto no prueba que lo que vemos en esos ejemplos siempre tenga que ser cierto.
(2) prueba por contradicción con (1). Si E( B | A ) > A entonces E( B )>E( A ) o ambos son infinitos o indefinidos.
(3) prueba por simetría de "independencia estocástica" entre rv A y el evento { A < B }. Porque si P( A < B | A=a )=1/2 para todo a , entonces el evento { A < B } es independiente de la variable aleatoria A. Ahora reemplace A y B por A' = g(A) , B' =g(B) donde g es una función estrictamente creciente desde la línea real hasta un intervalo acotado de la línea real (por ejemplo, la función arcotangente). Todas las suposiciones que hicimos sobre A y B también son válidas para las versiones transformadas, pero ahora podemos estar seguros de que los valores esperados son finitos. De ahora en adelante, elimino el "principal" y solo escribo A y B para estas versiones transformadas. Considere la desigualdad trivial E( AB | AB > 0) > 0. Por valores esperados finitos, esto se puede reescribir como E( A | A > B ) > E( B | A > B ) = E( A | B > A ) donde la última igualdad usa simetría. Esta desigualdad muestra que A depende estadísticamente del evento { A > B }, por lo tanto , el evento { A > B } depende estadísticamente de la variable aleatoria A. Volviendo a transformar a las variables originales, esto sigue siendo cierto.
Corolario (un ejercicio para conocedores/estudiantes de teoría de la probabilidad). Sea g una función estrictamente creciente y sea A' = g(A) , B' =g(B ). Entonces el teorema también se aplica al par A' y B' . Ampliar para no necesariamente aumentar estrictamente g aproximando por estricto y yendo al límite (las desigualdades estrictas ya no necesitan ser estrictas en el límite). Encontramos
Estos hechos abordan las principales variantes del problema de los dos sobres, así como todos sus predecesores, dos corbatas y tarjetas de dos caras. La única manera de escapar a los hechos es asumir distribuciones inadecuadas. Pero son... inapropiados. De hecho, son: ridículos, según Schrödinger, Littlewood, Falk y casi todos.