En combinatoria , la identidad de Vandermonde (o convolución de Vandermonde ) es la siguiente identidad para coeficientes binomiales :
para cualquier número entero no negativo r , m , n . La identidad lleva el nombre de Alexandre-Théophile Vandermonde (1772), aunque ya era conocida en 1303 por el matemático chino Zhu Shijie . [1]
donde usamos la convención de que a i = 0 para todos los enteros i > m y b j = 0 para todos los enteros j > n . Por el teorema del binomio ,
Usando el teorema del binomio también para los exponentes m y n , y luego la fórmula anterior para el producto de polinomios, obtenemos
donde la convención anterior para los coeficientes de los polinomios concuerda con la definición de los coeficientes binomiales, porque ambos dan cero para todo i > m y j > n , respectivamente.
Al comparar los coeficientes de x r , se sigue la identidad de Vandermonde para todos los enteros r con 0 ≤ r ≤ m + n . Para números enteros r más grandes , ambos lados de la identidad de Vandermonde son cero debido a la definición de coeficientes binomiales.