Teorema del binomio

Algebraic expansion of powers of a binomial

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${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}$

Las coeficiente binomial aparece como el b º entrada en el n º fila de triángulo de Pascal (empieza a contar a 0 ). Cada entrada es la suma de las dos anteriores.${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$

En álgebra elemental , el teorema del binomio (o expansión binomial ) describe la expansión algebraica de potencias de un binomio . De acuerdo con el teorema, es posible ampliar el polinomio ( x + y ) ⁿ en una suma que implica términos de la forma ax ^b y ^c , donde los exponentes b y c son números enteros no negativos con b + c = n , y el coeficiente ade cada término es un número entero positivo específico que depende de n y b . Por ejemplo (para n = 4 ),

${\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}$

El coeficiente de una en el término de hacha ^b y ^c se conoce como el coeficiente binomial o (los dos tienen el mismo valor). Estos coeficientes para variar n y b pueden organizarse para formar el triángulo de Pascal . Estos números también surgen en combinatoria , donde da el número de diferentes combinaciones de b elementos que se pueden elegir de un conjunto de n elementos . Por lo tanto, a menudo se pronuncia como " n elige b ".${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{c}}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{b}}}$

Historia

Se conocían casos especiales del teorema del binomio desde al menos el siglo IV a.C. cuando el matemático griego Euclides mencionó el caso especial del teorema del binomio para el exponente  2 . ^{[1] [2]} Existe evidencia de que el teorema del binomio para cubos se conocía en el siglo VI d.C. en la India. ^{[1] [2]}

Los coeficientes binomiales, como cantidades combinatorias que expresan el número de formas de seleccionar k objetos de n sin reemplazo, fueron de interés para los antiguos matemáticos indios. La primera referencia conocida a este problema combinatorio es el Chandaḥśāstra del letrista indio Pingala (c. 200 a. C.), que contiene un método para su solución. ^{[3] : 230} El comentarista Halayudha del siglo X d.C. explica este método usando lo que ahora se conoce como el triángulo de Pascal . ^[3] En el siglo VI d.C., los matemáticos indios probablemente sabían cómo expresar esto como un cociente , ^[4]${\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$y una declaración clara de esta regla se puede encontrar en el texto del siglo XII Lilavati de Bhaskara . ^[4]

La primera formulación del teorema binomial y la tabla de coeficientes binomiales, que sepamos , se puede encontrar en un trabajo de Al-Karaji , citado por Al-Samaw'al en su "al-Bahir". ^{[5] [6] [7]} Al-Karaji describió el patrón triangular de los coeficientes binomiales ^[8] y también proporcionó una prueba matemática tanto del teorema del binomio como del triángulo de Pascal, utilizando una forma temprana de inducción matemática . ^[8] El poeta y matemático persa Omar Khayyam probablemente estaba familiarizado con la fórmula de órdenes superiores, aunque muchas de sus obras matemáticas se han perdido. ^[2] Las expansiones binomiales de pequeños grados fueron conocidas en los trabajos matemáticos del siglo XIII de Yang Hui ^[9] y también de Chu Shih-Chieh . ^[2] Yang Hui atribuye el método a un texto de Jia Xian del siglo XI mucho más temprano , aunque esos escritos ahora también se han perdido. ^{[3] : 142}

En 1544, Michael Stifel introdujo el término "coeficiente binomial" y mostró cómo usarlos para expresar en términos de , a través del "triángulo de Pascal". ^[10] Blaise Pascal estudió el triángulo del mismo nombre de forma exhaustiva en su Traité dus triangle arithmétique . ^[11] Sin embargo, el patrón de números ya era conocido por los matemáticos europeos del Renacimiento tardío, incluidos Stifel, Niccolò Fontana Tartaglia y Simon Stevin . ^[10]${\displaystyle (1+a)^{n}}$${\displaystyle (1+a)^{n-1}}$

A Isaac Newton se le atribuye generalmente el teorema del binomio generalizado, válido para cualquier exponente racional. ^{[10] [12]}

Declaración

Según el teorema, es posible expandir cualquier potencia no negativa de x + y en una suma de la forma

${\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}$

donde es un número entero y cada uno es un número entero positivo conocido como coeficiente binomial . (Cuando un exponente es cero, la expresión de potencia correspondiente se toma como 1 y este factor multiplicativo a menudo se omite del término. Por lo tanto, a menudo se ve el lado derecho escrito como .) Esta fórmula también se conoce como la fórmula binomial o la identidad binomial . Usando la notación de suma , se puede escribir como${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle {\binom {n}{0}}x^{n}+\ldots }$

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}$

La expresión final se desprende de la anterior por la simetría de x y y en la primera expresión, y por comparación se deduce que la secuencia de coeficientes binomiales en la fórmula es simétrica. Se obtiene una variante simple de la fórmula binomial sustituyendo 1 por y , de modo que solo involucre una variable . De esta forma, la fórmula dice

${\displaystyle (1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},}$

o equivalente

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.}$

Ejemplos

Estos son los primeros casos del teorema del binomio:

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{0}&=1,\\[8pt](x+y)^{1}&=x+y,\\[8pt](x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7},\\[8pt](x+y)^{8}&=x^{8}+8x^{7}y+28x^{6}y^{2}+56x^{5}y^{3}+70x^{4}y^{4}+56x^{3}y^{5}+28x^{2}y^{6}+8xy^{7}+y^{8}.\end{aligned}}}$

En general, para la expansión de ( x + y ) ⁿ en el lado derecho de la fila n (numerada de modo que la fila superior sea la fila 0):

• los exponentes de x en los términos son n , n −1, ..., 2, 1, 0 (el último término contiene implícitamente x ⁰ = 1 );
• los exponentes de y en los términos son 0, 1, 2, ..., n −1, n (el primer término contiene implícitamente y ⁰ = 1 );
• los coeficientes forman el n º fila del triángulo de Pascal;
• antes de combinar términos semejantes, hay 2 ⁿ términos x ⁱ y ^j en la expansión (no se muestra);
• después de combinar términos semejantes, hay n + 1 términos y sus coeficientes suman 2 ⁿ .

Un ejemplo que ilustra los dos últimos puntos:

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}\;\mathrm {terms} )\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1\;\mathrm {terms} )\end{aligned}}}$

con .${\displaystyle 1+3+3+1=2^{3}}$

Un ejemplo simple con un valor positivo específico de y :

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{aligned}}}$

Un ejemplo simple con un valor negativo específico de y :

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-2)^{3}&=x^{3}-3x^{2}(2)+3x(2)^{2}-2^{3}\\&=x^{3}-6x^{2}+12x-8.\end{aligned}}}$

Explicación geométrica

Visualización de expansión binomial hasta la 4a potencia

Para los valores positivos de una y b , el teorema binomial con n = 2 es el hecho de geométricamente evidente que un cuadrado de lado a + b se puede cortar en un cuadrado de lado a , un cuadrado de lado b , y dos rectángulos con lados una y b . Con n = 3 , los estados teorema de que un cubo de lado a + b se puede cortar en un cubo de lado una , un cubo de lado b , tres un × un × b cajas rectangulares, y tresa × b × b cajas rectangulares.

En cálculo , esta imagen también da una prueba geométrica de la derivada ^[13] si se establece e interpretando b como un cambio infinitesimal en a , entonces esta imagen muestra el cambio infinitesimal en el volumen de un hipercubo n- dimensional , donde el coeficiente de el término lineal (en ) es el área de las n caras, cada una de dimensión n - 1 :${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}:}$${\displaystyle a=x}$${\displaystyle b=\Delta x,}$${\displaystyle (x+\Delta x)^{n},}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle nx^{n-1},}$

${\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .}$

Sustituir esto en la definición de la derivada a través de un cociente de diferencias y tomar límites significa que los términos de orden superior, y superiores, se vuelven insignificantes y produce la fórmula interpretada como${\displaystyle (\Delta x)^{2}}$${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1},}$

"la tasa infinitesimal de cambio en el volumen de un n -cube a medida que varía la longitud del lado es el área de n de sus ( n - 1) caras dimensionales".

Si se integra esta imagen, que corresponde a la aplicación del teorema fundamental del cálculo , se obtiene la fórmula de cuadratura de Cavalieri , la integral - ver prueba de la fórmula de cuadratura de Cavalieri para más detalles. ^[13]${\displaystyle \textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}}$

Coeficientes binomiales

Artículo principal: coeficiente binomial

Los coeficientes que aparecen en la expansión binomial se denominan coeficientes binomiales . Por lo general, se escriben y se pronuncian " n choose k ".${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$

Fórmulas

El coeficiente de x ^{n - k} y ^k viene dado por la fórmula

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}},}$

que se define en términos de la función factorial n ! . De manera equivalente, esta fórmula se puede escribir

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}}$

con k factores tanto en el numerador como en el denominador de la fracción . Aunque esta fórmula implica una fracción, el coeficiente binomial es en realidad un número entero .${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

Interpretación combinatoria

El coeficiente binomial se puede interpretar como el número de formas de elegir k elementos de un conjunto de n elementos. Esto está relacionado con los binomios por la siguiente razón: si escribimos ( x + y ) ⁿ como un producto${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

${\displaystyle (x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),}$

entonces, de acuerdo con la ley distributiva , habrá un término en la expansión para cada opción de x o y de cada uno de los binomios del producto. Por ejemplo, solo habrá un término x ⁿ , correspondiente a elegir x de cada binomio. Sin embargo, habrá varios términos de la forma x ^{n −2} y ² , uno para cada forma de elegir exactamente dos binomios para contribuir a y . Por lo tanto, después de combinar términos semejantes , el coeficiente de x ^{n −2} y ² será igual al número de formas de elegir exactamente2 elementos de un conjunto de n elementos.

Pruebas

Prueba combinatoria

Ejemplo

El coeficiente de xy ² en

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\\&=xxx+xxy+xyx+{\underline {xyy}}+yxx+{\underline {yxy}}+{\underline {yyx}}+yyy\\&=x^{3}+3x^{2}y+{\underline {3xy^{2}}}+y^{3}\end{aligned}}}$

es igual porque hay tres cadenas x , y de longitud 3 con exactamente dos y s, a saber,${\displaystyle {\tbinom {3}{2}}=3}$

${\displaystyle xyy,\;yxy,\;yyx,}$

correspondiente a los tres subconjuntos de 2 elementos de {1, 2, 3} , a saber,

${\displaystyle \{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},}$

donde cada subconjunto especifica las posiciones de la y en una cadena correspondiente.

Caso general

La expansión de ( x + y ) ⁿ rendimientos la suma de los 2 ⁿ productos de la forma e ₁ e ₂ ... e _n la que cada e _i es x o  y . El reordenamiento de factores muestra que cada producto es igual a x ^{n - k} y ^k para algunos k entre 0 y  n . Para un k dado , se demuestra que lo siguiente es igual en sucesión:

• el número de copias de x ^{n - k} y ^k en la expansión
• el número de n caracteres x , y cadenas que tienen y en exactamente k posiciones
• el número de subconjuntos de elementos k de {1, 2, ..., n }
• ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$ya sea por definición, o por un breve argumento combinatorio si uno se define como${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle {\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

Esto prueba el teorema del binomio.

Prueba inductiva

La inducción produce otra demostración del teorema del binomio. Cuando n = 0 , ambos lados son iguales a 1 , ya que x ⁰ = 1 y Ahora suponga que la igualdad se cumple para un n dado ; lo probaremos para n + 1 . Para j , k ≥ 0 , sea [ f ( x , y )] _{j , k} el coeficiente de x ^j y ^k en el polinomio f ( x , y )${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1.}$. Por la hipótesis de inducción, ( x + y ) ⁿ es un polinomio en x y y de tal manera que [( x + y ) ⁿ ] _{j , k} es si j + k = n , y 0 de otro modo. La identidad${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

${\displaystyle (x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}}$

muestra que ( x + Y ) ^{n 1} es también un polinomio en x y y , y

${\displaystyle [(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1},}$

ya que si j + k = n + 1 , entonces ( j - 1) + k = n y j + ( k - 1) = n . Ahora, el lado derecho es

${\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}},}$

por la identidad de Pascal . ^[14] Por otro lado, si j + k ≠ n + 1 , entonces ( j - 1) + k ≠ n y j + ( k - 1) ≠ n , entonces obtenemos 0 + 0 = 0 . Por lo tanto

${\displaystyle (x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},}$

que es la hipótesis inductiva con n + 1 sustituido por n y así completa el paso inductivo.

Generalizaciones

Teorema del binomio generalizado de Newton

Artículo principal: Serie binomial

Alrededor de 1665, Isaac Newton generalizó el teorema del binomio para permitir exponentes reales distintos de los enteros no negativos. (La misma generalización también se aplica a los exponentes complejos ). En esta generalización, la suma finita se reemplaza por una serie infinita . Para hacer esto, es necesario dar significado a los coeficientes binomiales con un índice superior arbitrario, lo que no se puede hacer usando la fórmula habitual con factoriales. Sin embargo, para un número arbitrario r , se puede definir

${\displaystyle {r \choose k}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}},}$

¿Dónde está el símbolo de Pochhammer , aquí representando un factorial en caída ? Esto concuerda con las definiciones habituales cuando r es un número entero no negativo. Entonces, si x e y son números reales con | x | > | y | , ^{[Nota 1]} y r es cualquier número complejo, uno tiene${\displaystyle (\cdot )_{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}}$

Cuando r es un número entero no negativo, los coeficientes binomiales para k > r son cero, por lo que esta ecuación se reduce al teorema binomial habitual, y hay como máximo r + 1 términos distintos de cero. Para otros valores de r , la serie normalmente tiene un número infinito de términos distintos de cero.

Por ejemplo, r = 1/2 da la siguiente serie para la raíz cuadrada:

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots }$

Tomando r = −1 , la serie binomial generalizada da la fórmula de la serie geométrica , válida para | x | <1 :

${\displaystyle (1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots }$

Más generalmente, con r = - s :

${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}x^{k}.}$

Entonces, por ejemplo, cuando s = 1/2 ,

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots }$

Más generalizaciones

La generalizada binomial teorema puede extenderse al caso en que x y y son números complejos. Para esta versión, uno debe asumir nuevamente | x | > | y | ^{[Nota 1]} y defina las potencias de x + y y x usando una rama holomorfa de log definida en un disco abierto de radio | x | centrado en x . El teorema binomial generalizado es válido también para los elementos de x y y de un álgebra de Banach Mientras xy = yx, yx es invertible, y || y / x || <1 .

Una versión del teorema del binomio es válida para la siguiente familia de polinomios similar a un símbolo de Pochhammer : para una constante real c dada , defina y${\displaystyle x^{(0)}=1}$

${\displaystyle x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]}$

para Entonces ^[15]${\displaystyle n>0.}$

${\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.}$

El caso c = 0 recupera el teorema binomial habitual.

De manera más general, se dice que una secuencia de polinomios es binomial si${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$

• ${\displaystyle \deg p_{n}=n}$para todos ,${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle p_{0}(0)=1}$, y
• ${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}$para todos , y .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle n}$

Se dice que un operador en el espacio de polinomios es el operador base de la secuencia si y para todos . Una secuencia es binomial si y solo si su operador base es un operador Delta . ^[16] Escribiendo para el desplazamiento por operador, los operadores delta correspondientes a las familias de polinomios "Pochhammer" anteriores son la diferencia hacia atrás para , la derivada ordinaria para y la diferencia hacia adelante para .${\displaystyle Q}$${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$${\displaystyle Qp_{0}=0}$${\displaystyle Qp_{n}=np_{n-1}}$${\displaystyle n\geqslant 1}$${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$${\displaystyle E^{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle I-E^{-c}}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle c=0}$${\displaystyle E^{-c}-I}$${\displaystyle c<0}$

Teorema multinomial

Artículo principal: teorema multinomial

El teorema del binomio se puede generalizar para incluir potencias de sumas con más de dos términos. La versión general es

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},}$

donde la suma se toma sobre todas las secuencias de índices enteros no negativos k ₁ a k _m tales que la suma de todos los k _i es  n . (Para cada término de la expansión, los exponentes deben sumar  n ). Los coeficientes se conocen como coeficientes multinomiales y se pueden calcular mediante la fórmula${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$

${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}$

Combinatoriamente, el coeficiente multinomial cuenta el número de formas diferentes de dividir un conjunto de n elementos en subconjuntos disjuntos de tamaños k ₁ , ..., k _m .${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$

Teorema multibinomial

Cuando se trabaja en más dimensiones, a menudo es útil tratar con productos de expresiones binomiales. Según el teorema del binomio, esto es igual a

${\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.}$

Esto se puede escribir de manera más concisa, mediante notación de índices múltiples , como

${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$

Regla general de Leibniz

Artículo principal: regla general de Leibniz

La regla general Leibniz da la n º derivada de un producto de dos funciones en una forma similar a la del teorema binomial: ^[17]

${\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).}$

Aquí, el superíndice ( n ) indica la n- ésima derivada de una función. Si se establece f ( x ) = e ^ax y g ( x ) = e ^bx , y luego se cancela el factor común de e ^{( a + b ) x} de ambos lados del resultado, se recupera el teorema del binomio ordinario. ^[18]

Aplicaciones

Identidades de múltiples ángulos

Para los números complejos, el teorema del binomio se puede combinar con la fórmula de De Moivre para producir fórmulas de múltiples ángulos para el seno y el coseno . Según la fórmula de De Moivre,

${\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.}$

Usando el teorema del binomio, la expresión de la derecha se puede expandir, y luego se pueden tomar las partes real e imaginaria para obtener fórmulas para cos ( nx ) y sin ( nx ) . Por ejemplo, desde

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x,}$

La fórmula de De Moivre nos dice que

${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}$

que son las identidades habituales de doble ángulo. Del mismo modo, dado que

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}$

La fórmula de De Moivre rinde

${\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}$

En general,

${\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}$

y

${\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}$

Serie para e

El número e se define a menudo por la fórmula

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

Al aplicar el teorema del binomio a esta expresión se obtiene la serie infinita habitual para e . En particular:

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.}$

El k- ésimo término de esta suma es

${\displaystyle {n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}$

Cuando n → ∞ , la expresión racional de la derecha se acerca a 1 , y por lo tanto

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}$

Esto indica que e se puede escribir como una serie:

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}$

De hecho, dado que cada término de la expansión binomial es una función creciente de n , del teorema de convergencia monótona para series se sigue que la suma de esta serie infinita es igual a  e .

Probabilidad

El teorema del binomio está estrechamente relacionado con la función de masa de probabilidad de la distribución binomial negativa . La probabilidad de una colección (contable) de ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito que no suceda es${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in S}}$${\displaystyle p\in [0,1]}$

${\displaystyle P\left(\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}\right)=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{|S| \choose n}(-p)^{n}.}$

Un límite superior útil para esta cantidad es ^[19]${\displaystyle e^{-p|S|}.}$

En álgebra abstracta

El teorema binomial es válida más generalmente para dos elementos x y Y en un anillo , o incluso un semiring , siempre que xy = yx . Por ejemplo, es válido para dos matrices n × n , siempre que esas matrices se conmuten; esto es útil para calcular las potencias de una matriz. ^[20]

El teorema del binomio se puede enunciar diciendo que la secuencia polinomial {1, x , x ² , x ³ , ...} es de tipo binomial .

En la cultura popular

• El teorema del binomio se menciona en la canción del general de división en la ópera cómica The Pirates of Penzance .
• Sherlock Holmes describe al profesor Moriarty como habiendo escrito un tratado sobre el teorema del binomio .
• El poeta portugués Fernando Pessoa , utilizando el heterónimo Álvaro de Campos , escribió que "el binomio de Newton es tan hermoso como la Venus de Milo . La verdad es que pocas personas lo notan". ^[21]
• En la película de 2014 The Imitation Game , Alan Turing hace referencia al trabajo de Isaac Newton sobre el teorema del binomio durante su primer encuentro con el comandante Denniston en Bletchley Park.

Ver también

• Aproximación binomial
• Distribución binomial
• Teorema de la inversa binomial
• Aproximación de Stirling
• Teorema de curtiduría

Notas

1. Esto es para garantizar la convergencia. Dependiendo de r , la serie también puede converger a veces cuando | x | = | y | .

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Teorema del binomio" . Wolfram MathWorld .
2. Coolidge, JL (1949). "La historia del teorema del binomio". The American Mathematical Monthly . 56 (3): 147-157. doi : 10.2307 / 2305028 . JSTOR 2305028 . 
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Lectura adicional

• Bolsa, Amulya Kumar (1966). "Teorema del binomio en la India antigua". Indian J. History Sci . 1 (1): 68–74.
• Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). "(5) Coeficientes binomiales". Matemáticas concretas (2ª ed.). Addison Wesley. pp.  153 -256. ISBN 978-0-201-55802-9. OCLC  17649857 .

Enlaces externos

La combinatoria de Wikilibro tiene una página sobre el tema: El teorema del binomio

• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Newton binomial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Teorema del binomio de Stephen Wolfram y "Teorema del binomio (paso a paso)" de Bruce Colletti y Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project , 2007.

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