Conjetura de Kummer-Vandiver

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En matemáticas , la conjetura de Kummer-Vandiver , o conjetura de Vandiver , establece que un primo p no divide el número de clase h _K del subcampo real máximo del p -ésimo campo ciclotómico . La conjetura fue hecha por primera vez por Ernst Kummer el 28 de diciembre de 1849 y el 24 de abril de 1853 en cartas a Leopold Kronecker , reimpresas en ( Kummer 1975 , páginas 84, 93, 123–124), y redescubiertas de forma independiente alrededor de 1920 por Philipp Furtwängler y Harry Vandiver  ( 1946${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{p})^{+}}$, pags. 576),

A partir de 2011, no hay evidencia particularmente sólida a favor o en contra de la conjetura y no está claro si es verdadera o falsa, aunque es probable que los contraejemplos sean muy raros.

El número de clase h del campo ciclotómico es un producto de dos números enteros h ₁ y h ₂ , llamados el primer y segundo factor del número de clase, donde h _{2 es el número de clase del} subcampo real máximo del p -ésimo campo ciclotómico . El primer factor h ₁ se entiende bien y se puede calcular fácilmente en términos de números de Bernoulli y, por lo general, es bastante grande. El segundo factor h ₂ no se comprende bien y es difícil de calcular de forma explícita, y en los casos en que se ha calculado suele ser pequeño. ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{p})^{+}}$

Kummer demostró que si un primo p no divide el número de clase h , entonces el último teorema de Fermat se cumple para el exponente p .

La conjetura de Kummer-Vandiver establece que p no divide al segundo factor h ₂ . Kummer demostró que si p divide al segundo factor, también divide al primer factor. En particular, la conjetura de Kummer-Vandiver se cumple para primos regulares (aquellos para los que p no divide el primer factor).

Kummer verificó la conjetura de Kummer-Vandiver para p menos de 200, y Vandiver la extendió a p menos de 600. Joe Buhler, Richard Crandall y Reijo Ernvall et al. ( 2001 ) lo comprobaron para p < 12 millones. Buhler & Harvey (2011) extendieron esto a números primos menores a 163 millones, y Hart, Harvey & Ong (2017) lo extendieron a números primos menores a 2 ³¹ .

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