Matriz de covarianza

En teoría de la probabilidad y estadísticas , una matriz de covarianza (también conocido como matriz de auto-covarianza , la matriz de dispersión , matriz de varianza , o matriz de varianza-covarianza ) es un cuadrado matriz dando la covarianza entre cada par de elementos de un determinado vector aleatorio . Cualquier matriz de covarianza es simétrica y semidefinida positiva y su diagonal principal contiene varianzas (es decir, la covarianza de cada elemento consigo mismo).

Intuitivamente, la matriz de covarianza generaliza la noción de varianza a múltiples dimensiones. Por ejemplo, la variación en una colección de puntos aleatorios en un espacio bidimensional no se puede caracterizar completamente por un solo número, ni las variaciones en las direcciones y contienen toda la información necesaria; sería necesaria una matriz para caracterizar completamente la variación bidimensional.${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle 2 \ times 2}$

La matriz de covarianza de un vector aleatorio generalmente se denota por o .${\ Displaystyle \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {X}}}$${\ Displaystyle \ Sigma}$

A lo largo de este artículo, en negrita unsubscripted y se utilizan para referirse a los vectores al azar, y unboldfaced subíndice y se utilizan para referirse a variables aleatorias escalares.${\ Displaystyle \ mathbf {X}}$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$

son variables aleatorias , cada una con varianza finita y valor esperado , entonces la matriz de covarianza es la matriz cuya entrada es la covarianza ^{[1] : p. 177}${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$${\displaystyle (i,j)}$

donde el operador denota el valor esperado (media) de su argumento.${\displaystyle \operatorname {E} }$

Una función de densidad de probabilidad gaussiana bivariada centrada en (0, 0), con una matriz de covarianza dada por${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0.5\\0.5&1\end{bmatrix}}}$

Puntos de muestra de una distribución gaussiana bivariada con una desviación estándar de 3 aproximadamente en la dirección inferior izquierda-superior derecha y de 1 en la dirección ortogonal. Debido a que la x y Y componentes co-variar, las varianzas de y no describen completamente la distribución. Se necesita una matriz de covarianza; las direcciones de las flechas corresponden a los autovectores de esta matriz de covarianza y sus longitudes a las raíces cuadradas de los autovalores .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle 2\times 2}$

Figura 1: Construcción de un mapa de covarianza parcial de moléculas de N ₂ que experimentan una explosión de Coulomb inducida por un láser de electrones libres. ^[10] Los paneles a y b en el mapa los dos términos de la matriz de covarianza, que se muestra en el panel c . El panel d mapea las correlaciones de modo común a través de las fluctuaciones de intensidad del láser. El panel e mapea la matriz de covarianza parcial que se corrige para las fluctuaciones de intensidad. Panel fmuestra que una sobrecorrección del 10% mejora el mapa y hace que las correlaciones ion-ion sean claramente visibles. Debido a la conservación del momento, estas correlaciones aparecen como líneas aproximadamente perpendiculares a la línea de autocorrelación (y a las modulaciones periódicas que son causadas por el timbre del detector).