Matriz de covarianza

En teoría de probabilidad y estadística , una matriz de covarianza (también conocida como matriz de autocovarianza, matriz de dispersión, matriz de varianza o matriz de varianza-covarianza ) es una matriz cuadrada que proporciona la covarianza entre cada par de elementos de un vector aleatorio dado . Cualquier matriz de covarianza es simétrica y semidefinida positiva y su diagonal principal contiene varianzas (es decir, la covarianza de cada elemento consigo mismo).

Intuitivamente, la matriz de covarianza generaliza la noción de varianza a múltiples dimensiones. Como ejemplo, la variación en una colección de puntos aleatorios en un espacio bidimensional no puede caracterizarse completamente por un solo número, ni las variaciones en las direcciones y contendrían toda la información necesaria; sería necesaria una matriz para caracterizar completamente la variación bidimensional.${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización y}$${\ estilo de visualización 2 \ veces 2}$

La matriz de covarianza de un vector aleatorio generalmente se denota por o .${\ estilo de visualización \ mathbf {X}}$${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$${\ estilo de visualización \ Sigma}$

A lo largo de este artículo, las letras en negrita sin subíndice y se usan para referirse a vectores aleatorios, y las letras en negrita con subíndice y se usan para referirse a variables aleatorias escalares.${\ estilo de visualización \ mathbf {X}}$${\displaystyle \mathbf {Y} }$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$

son variables aleatorias , cada una con varianza finita y valor esperado , entonces la matriz de covarianza es la matriz cuya entrada es la covarianza ^{[1] : p. 177}${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$${\displaystyle (i,j)}$

donde el operador denota el valor esperado (media) de su argumento.${\displaystyle \operatorname {E} }$

Una función de densidad de probabilidad gaussiana bivariada centrada en (0, 0), con matriz de covarianza dada por${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0.5\\0.5&1\end{bmatrix}}}$

Muestree puntos de una distribución gaussiana bivariada con una desviación estándar de 3 aproximadamente en la dirección inferior izquierda-superior derecha y de 1 en la dirección ortogonal. Debido a que la x y Y componentes co-variar, las varianzas de y no describen completamente la distribución. Se necesita una matriz de covarianza; las direcciones de las flechas corresponden a los vectores propios de esta matriz de covarianza y sus longitudes a las raíces cuadradas de los valores propios .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle 2\times 2}$

Figura 1: Construcción de un mapa de covarianza parcial de moléculas de N ₂ que experimentan una explosión de Coulomb inducida por un láser de electrones libres. ^[10] Los paneles ayb mapean los dos términos de la matriz de covarianza, que se muestra en el panel c . El panel d mapea las correlaciones de modo común a través de las fluctuaciones de intensidad del láser. El panel e mapea la matriz de covarianza parcial que se corrige para las fluctuaciones de intensidad. Panel fmuestra que una sobrecorrección del 10% mejora el mapa y hace que las correlaciones ion-ion sean claramente visibles. Debido a la conservación del impulso, estas correlaciones aparecen como líneas aproximadamente perpendiculares a la línea de autocorrelación (ya las modulaciones periódicas que son causadas por el timbre del detector).