Invariante de tipo finito

En la teoría matemática de los nudos , una invariante de tipo finito , o invariante de Vassiliev (llamada así por Victor Anatolyevich Vassiliev ), es una invariante de nudo que puede extenderse (de una manera precisa a ser descrita) a una invariante de ciertos nudos singulares que desaparece. en nudos singulares con m + 1 singularidades y no desaparece en algún nudo singular con 'm' singularidades. Entonces se dice que es de tipo u orden m .

Damos la definición combinatoria de invariante de tipo finito debido a Goussarov y (independientemente) a Joan Birman y Xiao-Song Lin . Sea V un nudo invariante. Defina V ¹ para ser definido en un nudo con una singularidad transversal.

Considere un nudo K como una incrustación suave de un círculo en . Sea K' una inmersión suave de un círculo en un doble punto transversal. Luego ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {3}}$

donde se obtiene de K resolviendo el punto doble empujando una hebra sobre la otra, y K_- se obtiene de manera similar empujando la hebra opuesta sobre la otra. Podemos hacer esto para mapas con dos puntos dobles transversales, tres puntos dobles transversales, etc., utilizando la relación anterior. Que V sea de tipo finito significa precisamente que debe haber un entero positivo m tal que V desaparezca en mapas con dobles puntos transversales. $K_{+}$ ${\ estilo de visualización m + 1}$

Además, tenga en cuenta que existe una noción de equivalencia de nudos con singularidades que son puntos dobles transversales y V debe respetar esta equivalencia. También existe una noción de invariante de tipo finito para 3-variedades .

El invariante de nudos de Vassiliev no trivial más simple está dado por el coeficiente del término cuadrático del polinomio de Alexander-Conway . Es un invariante de orden dos. Módulo dos, es igual a la invariante de Arf .