En matemáticas aplicadas , el problema de Wahba , planteado por primera vez por Grace Wahba en 1965, busca encontrar una matriz de rotación ( matriz ortogonal especial ) entre dos sistemas de coordenadas a partir de un conjunto de observaciones vectoriales (ponderadas). Las soluciones al problema de Wahba se utilizan a menudo en la determinación de la actitud de los satélites utilizando sensores como magnetómetros y receptores GPS de múltiples antenas . La función de costo que el problema de Wahba busca minimizar es la siguiente:
- por
dónde es la k -ésima medición de 3 vectores en el marco de referencia,es la correspondiente k -ésima medición de 3 vectores en la estructura del cuerpo yes una matriz de rotación de 3 por 3 entre los marcos de coordenadas. [1] es un conjunto opcional de pesos para cada observación.
En la literatura han aparecido varias soluciones al problema, en particular el método q de Davenport, [2] QUEST y los métodos basados en descomposición de valores singulares . Esta es una formulación alternativa del problema de Procrustes ortogonales (considere todos los vectores multiplicados por las raíces cuadradas de los pesos correspondientes como columnas de dos matrices con N columnas para obtener la formulación alternativa).
Markley y Mortari analizan varios métodos para resolver el problema de Wahba.
Solución por descomposición de valores singulares
Se puede encontrar una solución utilizando una descomposición de valores singulares .
1. Obtenga una matriz como sigue:
2. Encuentra la descomposición del valor singular de
3. La matriz de rotación es simplemente:
dónde
Notas
- ^ La rotaciónen la definición del problema transforma el marco corporal en el marco de referencia. La mayoría de las publicaciones definen la rotación en sentido inverso, es decir, desde la referencia a la estructura de la carrocería que.
- ^ "Método Q de Davenport (encontrar una orientación que coincida con un conjunto de muestras puntuales)" . Intercambio de pila de matemáticas . Consultado el 23 de julio de 2020 .
Referencias
- Wahba, G. Problema 65-1: Estimación por mínimos cuadrados de la actitud del satélite , Revisión de SIAM, 1965, 7 (3), 409
- Shuster, MD y Oh, SD Determinación de actitud de tres ejes a partir de observaciones de vectores , Journal of Guidance and Control, 1981, 4 (1): 70–77
- Markley, FL Determinación de la actitud usando observaciones vectoriales y la descomposición de valores singulares , Journal of the Astronautical Sciences, 1988, 38: 245–258
- Markley, FL y Mortari, D. Estimación de la actitud del cuaternión mediante observaciones vectoriales , Journal of the Astronautical Sciences, 2000, 48 (2): 359–380
- Markley, FL y Crassidis, JL Fundamentos de la determinación y el control de la actitud de las naves espaciales , Springer 2014
- Libbus, B. y Simons, G. y Yao, Y. Rotar múltiples conjuntos de puntos etiquetados para acercarlos a una coincidencia cercana: un problema generalizado de Wahba , The American Mathematical Monthly, 2017, 124 (2): 149-160
- Lourakis, M. y Terzakis, G. Efficient Absolute Orientation Revisited , IEEE / RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS), 2018, págs.5813-5818.