El problema ortogonal de Procrustes [1] es un problema de aproximación matricial en álgebra lineal . En su forma clásica, a uno se le dan dos matrices y y pidió encontrar una matriz ortogonal que mapea más de cerca a . [2] Específicamente,
dónde denota la norma Frobenius . Este es un caso especial del problema de Wahba (con pesos idénticos; en lugar de considerar dos matrices, en el problema de Wahba las columnas de las matrices se consideran vectores individuales). Otra diferencia es que el problema de Wahba intenta encontrar una matriz de rotación adecuada, en lugar de solo una ortogonal.
El nombre Procusto se refiere a un bandido de la mitología griega que hizo que sus víctimas se acomodaran en su cama estirando sus extremidades o cortándolas.
Solución
Este problema fue resuelto originalmente por Peter Schönemann en una tesis de 1964, y poco después apareció en la revista Psychometrika. [3] Una prueba apareció en 1998. [4]
Este problema es equivalente a encontrar la matriz ortogonal más cercana a una matriz dada. . Para encontrar esta matriz ortogonal, se usa la descomposición de valor singular (para la cual las entradas de no son negativos)
escribir
Prueba
Una prueba depende de las propiedades básicas del producto interno de la matriz que induce la norma de Frobenius :
- Esta cantidad es una matriz ortogonal (ya que es un producto de matrices ortogonales) y, por lo tanto, la expresión se maximiza cuando es igual a la matriz de identidad . Por lo tanto
dónde es la solución para el valor óptimo de que minimiza la norma al cuadrado .
Problemas de Procrustes generalizados / restringidos
Hay una serie de problemas relacionados con el problema clásico de Procrustes ortogonal. Uno podría generalizarlo buscando la matriz más cercana en la que las columnas sean ortogonales , pero no necesariamente ortonormales . [5]
Alternativamente, se puede restringir permitiendo solo matrices de rotación (es decir, matrices ortogonales con determinante 1, también conocidas como matrices ortogonales especiales ). En este caso, se puede escribir (usando la descomposición anterior)
dónde es un modificado , con el valor singular más pequeño reemplazado por (+1 o -1), y los otros valores singulares reemplazados por 1, de modo que se garantiza que el determinante de R es positivo. [6] Para obtener más información, consulte el algoritmo de Kabsch .
Ver también
Referencias
- ^ Gower, JC; Dijksterhuis, GB (2004), Procrustes Problems , Oxford University Press
- ^ Hurley, JR; Cattell, RB (1962), "Producir rotación directa para probar una estructura factorial hipotética", Behavioral Science , 7 (2): 258-262, doi : 10.1002 / bs.3830070216
- ^ Schönemann, PH (1966), "Una solución generalizada del problema de Procrustes ortogonal" (PDF) , Psychometrika , 31 : 1–10, doi : 10.1007 / BF02289451 , S2CID 121676935 .
- ^ Zhang, Z. (1998), Una nueva técnica flexible para la calibración de cámaras (PDF) , Informe técnico de investigación de Microsoft, 71
- ^ Everson, R (1997), Problemas de procusto ortogonales, pero no ortonormales (PDF)
- ^ Eggert, DW; Lorusso, A; Fisher, RB (1997), "Estimación de transformaciones de cuerpos rígidos en 3D: una comparación de cuatro algoritmos principales", Visión artificial y aplicaciones , 9 (5): 272-290, doi : 10.1007 / s001380050048 , S2CID 1611749