Producto Wallis

Wallis derivó este producto infinito como se hace hoy en los libros de cálculo, examinando los valores pares e impares de , y notando que para grandes , aumentar en 1 da como resultado un cambio que se vuelve cada vez más pequeño a medida que aumenta. Vamos ^[2]${\ estilo de visualización \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} x \, dx}$${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización n}$

Obtenemos valores para y para uso posterior.${\ estilo de visualización yo (0)}$${\ estilo de visualización yo (1)}$

Ahora, calculamos para valores pares aplicando repetidamente el resultado de la relación de recurrencia de la integración por partes. Eventualmente, terminamos llegando a , que hemos calculado.${\ estilo de visualización yo (2n)}$${\ estilo de visualización yo (0)}$

Repitiendo el proceso para valores impares ,${\ estilo de visualización yo (2n + 1)}$

Hacemos la siguiente observación, basándonos en el hecho de que ${\ estilo de visualización \ pecado {x} \ leq 1}$

Dividiendo por :${\ estilo de visualización yo (2n + 1)}$

Comparación de la convergencia del producto de Wallis (asteriscos morados) y varias series infinitas históricas para π . S _n es la aproximación después de tomar n términos. Cada subparcela subsiguiente amplía el área sombreada horizontalmente en 10 veces. (haga clic para obtener más detalles)