En matemáticas , para una secuencia de números complejos a 1 , a 2 , a 3 , ... el producto infinito
se define como el límite de los productos parciales a 1 a 2 ... a n cuando n aumenta sin límite. Se dice que el producto converge cuando el límite existe y no es cero. De lo contrario, se dice que el producto diverge . Un límite de cero se trata especialmente para obtener resultados análogos a los de sumas infinitas . Algunas fuentes permiten la convergencia a 0 si solo hay un número finito de factores cero y el producto de los factores distintos de cero es distinto de cero, pero por simplicidad no lo permitiremos aquí. Si el producto converge, entonces el límite de la secuencia a n cuando n aumenta sin límite debe ser 1, mientras que lo contrario en general no es cierto.
Los ejemplos más conocidos de productos infinitos son probablemente algunas de las fórmulas para π , como los siguientes dos productos, respectivamente de Viète ( fórmula de Viète , el primer producto infinito publicado en matemáticas) y John Wallis ( producto de Wallis ):
Criterios de convergencia
El producto de números reales positivos
converge a un número real distinto de cero si y solo si la suma
converge. Esto permite la traducción de criterios de convergencia para sumas infinitas en criterios de convergencia para productos infinitos. El mismo criterio se aplica a los productos de los números complejos arbitrarios (incluyendo reales negativas) si el logaritmo se entiende como un fijo rama del logaritmo que satisface ln (1) = 0, con la condición de que las infinitas diverge de productos cuando infinitamente muchos un n caída fuera el dominio de ln, mientras que un número finito de tal un n puede ser ignorado en la suma.
Para productos de reales en los que cada , escrito como, por ejemplo, , dónde , los limites
demuestre que el producto infinito converge si la suma infinita de p n converge. Esto se basa en el teorema de convergencia monótona . Podemos mostrar lo contrario observando que, si, luego
y por la prueba de comparación de límites se deduce que las dos series
son equivalentes, lo que significa que ambos convergen o ambos divergen.
La misma prueba también muestra que si para algunos , luego converge a un número distinto de cero si y solo si converge.
Si la serie diverge a , entonces la secuencia de productos parciales de a n converge a cero. Se dice que el producto infinito diverge a cero . [1]
Para el caso donde el tienen signos arbitrarios, la convergencia de la suma no garantiza la convergencia del producto . Por ejemplo, si, luego converge, pero diverge a cero. Sin embargo, si es convergente, entonces el producto converge absolutamente , es decir, los factores pueden reordenarse en cualquier orden sin alterar ni la convergencia ni el valor límite del producto infinito. [2] Además, si es convergente, entonces la suma y el producto son ambos convergentes o ambos divergentes. [3]
Representaciones de productos de funciones
Un resultado importante con respecto a los productos infinitos es que cada función completa f ( z ) (es decir, cada función que es holomórfica en todo el plano complejo ) se puede factorizar en un producto infinito de funciones completas, cada una con como máximo una raíz única. En general, si f tiene una raíz de orden m en el origen y tiene otras raíces complejas en u 1 , u 2 , u 3 , ... (enumeradas con multiplicidades iguales a sus órdenes), entonces
donde λ n son números enteros no negativos que se pueden elegir para hacer que el producto converja, yes una función completa (lo que significa que el término anterior al producto no tendrá raíces en el plano complejo). La factorización anterior no es única, ya que depende de la elección de valores para λ n . Sin embargo, para la mayoría de las funciones, habrá un número entero no negativo mínimo p tal que λ n = p da un producto convergente, llamado representación del producto canónico . Este p se llama rango del producto canónico. En el caso de que p = 0, esto toma la forma
Esto puede considerarse como una generalización del teorema fundamental del álgebra , ya que para los polinomios, el producto se vuelve finito y es constante.
Además de estos ejemplos, las siguientes representaciones son de especial interés:
Función | Representaciones infinitas de productos | Notas |
---|---|---|
Polo simple | ||
Función Sinc | Esto se debe a Euler . La fórmula de Wallis para π es un caso especial de esto. | |
Función gamma recíproca | Schlömilch | |
Función sigma de Weierstrass | Aquí es la celosía sin el origen. | |
Símbolo Q-Pochhammer | Ampliamente utilizado en la teoría q-analógica . La función de Euler es un caso especial. | |
Función theta de Ramanujan | Una expresión del producto triple de Jacobi , también utilizada en la expresión de la función theta de Jacobi . | |
Función zeta de Riemann | Aquí p n denota el n- ésimo número primo . Este es un caso especial del producto Euler . |
El último de estos no es una representación de producto del mismo tipo discutido anteriormente, ya que ζ no es completo. Más bien, la representación del producto anterior de ζ ( z ) converge precisamente para Re ( z )> 1, donde es una función analítica. Mediante técnicas de continuación analítica , esta función puede extenderse únicamente a una función analítica (todavía denotada como ζ ( z )) en todo el plano complejo excepto en el punto z = 1, donde tiene un polo simple .
Ver también
Referencias
- ^ Jeffreys, Harold ; Jeffreys, Bertha Swirles (1999). Métodos de Física Matemática . Cambridge Mathematical Library (tercera edición revisada). Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 52. ISBN 1107393671.
- ^ Trinchera, William F. (1999). "Convergencia condicional de productos infinitos" (PDF) . American Mathematical Monthly . 106 : 646–651. doi : 10.1080 / 00029890.1999.12005098 . Consultado el 10 de diciembre de 2018 .
- ^ Knopp, Konrad (1954). Teoría y aplicación de series infinitas . Londres: Blackie & Son Ltd.
- Knopp, Konrad (1990). Teoría y aplicación de series infinitas . Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-66165-0.
- Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo (3ª ed.). Boston: McGraw Hill . ISBN 0-07-054234-1.
- Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , eds. (1972). Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-61272-0.
enlaces externos
- Productos infinitos de Wolfram Math World
- Una colección de productos infinitos - I
- Una colección de productos infinitos - II