La geometría de Ruppeiner es geometría termodinámica (un tipo de geometría de la información ) que utiliza el lenguaje de la geometría de Riemann para estudiar la termodinámica . George Ruppeiner lo propuso en 1979. Afirmó que los sistemas termodinámicos se pueden representar mediante la geometría de Riemann y que las propiedades estadísticas se pueden derivar del modelo.
Este modelo geométrico se basa en la inclusión de la teoría de las fluctuaciones en los axiomas de la termodinámica del equilibrio , es decir, existen estados de equilibrio que pueden ser representados por puntos en una superficie bidimensional (variedad) y la distancia entre estos estados de equilibrio está relacionada con la fluctuación entre ellos. Este concepto está asociado a las probabilidades, es decir, cuanto menos probable es la fluctuación entre estados, más alejados están. Esto se puede reconocer si se considera el tensor métrico g ij en la fórmula de distancia (elemento de línea) entre los dos estados de equilibrio
donde la matriz de coeficientes g ij es el tensor métrico simétrico que se denomina métrico de Ruppeiner , definido como una hessiana negativa de la función de entropía
donde U es la energía interna (masa) del sistema y Na se refiere a los parámetros extensivos del sistema. Matemáticamente, la geometría de Ruppeiner es un tipo particular de geometría de la información y es similar a la métrica de Fisher-Rao utilizada en las estadísticas matemáticas.
La métrica de Ruppeiner puede entenderse como el límite termodinámico (límite de sistemas grandes) de la métrica de información de Fisher más general . [1] Para sistemas pequeños (sistemas donde las fluctuaciones son grandes), la métrica de Ruppeiner puede no existir, ya que no se garantiza que las segundas derivadas de la entropía sean no negativas.
donde T es la temperatura del sistema bajo consideración. La prueba de la relación conforme se puede hacer fácilmente cuando uno escribe la primera ley de la termodinámica (dU=TdS+...) en forma diferencial con algunas manipulaciones. La geometría de Weinhold también se considera como una geometría termodinámica. Se define como un hessiano de la energía interna con respecto a la entropía y otros parámetros extensivos.