Conjetura de Witten

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En geometría algebraica , la conjetura de Witten es una conjetura sobre números de intersección de clases estables en el espacio de módulos de curvas , introducida por Edward Witten en el artículo Witten  ( 1991 ) y generalizada en Witten (1993) . La conjetura original de Witten fue probada por Maxim Kontsevich en el artículo Kontsevich (1992) .

La motivación de Witten para la conjetura fue que dos modelos diferentes de gravedad cuántica bidimensional deberían tener la misma función de partición. La función de partición para uno de estos modelos se puede describir en términos de números de intersección en la pila de módulos de curvas algebraicas , y la función de partición para el otro es el logaritmo de la función τ de la jerarquía KdV . La identificación de estas funciones de partición da la conjetura de Witten de que una determinada función generadora formada a partir de números de intersección debería satisfacer las ecuaciones diferenciales de la jerarquía KdV.

Suponga que M _{g , n} es la pila de módulos de superficies compactas de Riemann del género g con n puntos marcados distintos x ₁ , ..., x _n , y M _{g , n} es su compactación de Deligne-Mumford. Hay n haces de líneas L _i sobre M _{g , n} , cuya fibra en un punto de la pila de módulos está dada por el espacio cotangente de una superficie de Riemann en el punto marcado x _i . El índice de intersección 〈τ _{d 1} , ..., τ _dn〉 es el índice de intersección de Πc₁(L _i ) ^{d _i} en M _{g , n} donde Σd _i = dim M _{g , n} = 3g- 3 +n, y 0 si noexistetalg, dondec₁es la primeraclase Chernde un paquete de líneas. Función generadora de Witten

La conjetura de Witten establece que la función de partición Z = exp F es una función τ para la jerarquía KdV , en otras palabras, satisface una cierta serie de ecuaciones diferenciales parciales correspondientes a la base del álgebra de Virasoro .${\ Displaystyle \ {L _ {- 1}, L_ {0}, L_ {1}, \ ldots \}}$

Kontsevich utilizó una descripción combinatoria de los espacios de módulos en términos de gráficos de cinta para mostrar que

Aquí la suma de la derecha está sobre el conjunto G _{g , n} de los gráficos de cinta X de superficies compactas de Riemann del género g con n puntos marcados. El conjunto de aristas ey puntos de X se denotan por X ₀ y X ₁ . La función λ se considera una función desde los puntos marcados hasta los reales, y se extiende a los bordes del gráfico de cinta estableciendo λ de un borde igual a la suma de λ en los dos puntos marcados correspondientes a cada lado del borde.

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