En matemáticas , y especialmente en geometría algebraica , el número de intersección generaliza la noción intuitiva de contar el número de veces que dos curvas se cruzan a dimensiones más altas, curvas múltiples (más de 2) y contabilizar adecuadamente la tangencia . Se necesita una definición de número de intersección para enunciar resultados como el teorema de Bézout .
El número de intersección es evidente en ciertos casos, tales como la intersección de x - y Y -axes que debería ser uno. La complejidad entra en el cálculo de intersecciones en puntos de tangencia e intersecciones a lo largo de conjuntos dimensionales positivos. Por ejemplo, si un plano es tangente a una superficie a lo largo de una línea, el número de intersección a lo largo de la línea debe ser al menos dos. Estas preguntas se discuten sistemáticamente en la teoría de la intersección .
Definición de superficies Riemann
Sea X una superficie de Riemann . Entonces, el número de intersección de dos curvas cerradas en X tiene una definición simple en términos de una integral. Para cada curva cerrada c en X (es decir, función suave), podemos asociar una forma diferencial de soporte compacto con la propiedad de que las integrales a lo largo de c pueden calcularse mediante integrales sobre X :
- , por cada diferencial cerrado (1-) en X ,
dónde es el producto de la cuña de diferenciales, yes la estrella de Hodge . A continuación, el número de intersección de dos curvas cerradas, una y b , en X se define como
- .
La tienen una definición intuitiva de la siguiente manera. Son una especie de dirac delta a lo largo de la curva c , que se logra tomando el diferencial de una función de paso unitario que cae de 1 a 0 en c . Más formalmente, comenzamos definiendo para una curva cerrada simple c en X , una función f c al dejarser una pequeña franja alrededor de c en forma de anillo. Nombra las partes izquierda y derecha de como y . Luego tome una sub-tira más pequeña alrededor de c ,, con partes izquierda y derecha y . Luego defina f c por
- .
Luego, la definición se amplía a curvas cerradas arbitrarias. Toda curva cerrada c en X es homóloga apara algunas curvas cerradas simples c i , es decir,
- , para cada diferencial .
Definir el por
- .
Definición de variedades algebraicas
La definición constructiva habitual en el caso de las variedades algebraicas se desarrolla por pasos. La definición dada a continuación es para el número de intersección de divisores en una variedad X no singular .
1. El único número de intersección que se puede calcular directamente a partir de la definición es la intersección de hipersuperficies (subvariedades de X de la codimensión uno) que están en posición general en x . Específicamente, suponga que tenemos una variedad no singular X , y n hipersuperficies Z 1 , ..., Z n que tienen ecuaciones locales f 1 , ..., f n cerca de x para polinomios f i ( t 1 , ..., t n ), de modo que se cumplan los siguientes:
- .
- por todo i . (es decir, x está en la intersección de las hipersuperficies).
- (es decir, los divisores están en posición general).
- La son no singulares en x .
Entonces el número de intersección en el punto x (llamado multiplicidad de intersección en x ) es
- ,
dónde es el anillo local de X en x , y la dimensión es la dimensión como un espacio de k -vectores. Puede calcularse como la localización , dónde es el ideal máximo de polinomios que desaparecen en x , y U es un conjunto afín abierto que contiene x y no contiene ninguna de las singularidades de f i .
2. El número de intersección de hipersuperficies en posición general se define entonces como la suma de los números de intersección en cada punto de intersección.
3. Amplíe la definición a divisores efectivos por linealidad, es decir,
- y .
4. Extender la definición para divisores arbitrarias en posición general notando cada divisor tiene una expresión única como D = P - N para algunos divisores eficaces P y N . Entonces, sea D i = P i - N i , y use reglas de la forma
para transformar la intersección.
5. El número de intersección de divisores arbitrarios se define usando un " lema móvil de Chow " que garantiza que podemos encontrar divisores linealmente equivalentes que están en posición general, que luego podemos intersecar.
Tenga en cuenta que la definición del número de intersección no depende del orden en el que aparecen los divisores en el cálculo de este número.
Fórmula Tor de Serre
Sean V y W dos subvariedades de una variedad proyectiva no singular X tal que dim ( V ) + dim ( W ) = dim ( X ). Entonces esperamos que la intersección V ∩ W sea un conjunto finito de puntos. Si tratamos de contarlos, pueden surgir dos tipos de problemas. Primero, incluso si la dimensión esperada de V ∩ W es cero, la intersección real puede ser de una dimensión grande. Por ejemplo, podríamos intentar encontrar el número de auto-intersección de una línea proyectiva en un plano proyectivo . El segundo problema potencial es que incluso si la intersección es de dimensión cero, puede que no sea transversal. Por ejemplo, V puede ser una línea tangente a una curva plana W .
El primer problema requiere la maquinaria de la teoría de la intersección , discutida anteriormente en detalle. La idea esencial es reemplazar V y W por subvariedades más convenientes usando el lema móvil . Por otro lado, el segundo problema se puede resolver directamente, sin mover V o W . En 1965 Jean-Pierre Serre describió cómo encontrar la multiplicidad de cada punto de intersección mediante métodos de álgebra conmutativa y álgebra homológica . [1] Esta conexión entre una noción geométrica de intersección y una noción homológica de un producto tensorial derivado ha sido influyente y condujo en particular a varias conjeturas homológicas en álgebra conmutativa .
La fórmula Tor de Serre es el siguiente resultado. Sea X una variedad regular , V y W dos subvariedades de dimensión complementaria tales que V ∩ W sea de dimensión cero. Para cualquier punto x ∈ V ∩ W , sea A el anillo local de x . Las poleas de la estructura de V y W en x corresponden a los ideales I , J ⊆ A . Entonces la multiplicidad de V ∩ W en el punto x es
donde length es la longitud de un módulo sobre un anillo local y Tor es el functor de Tor . Cuando V y W se pueden mover a una posición transversal, esta fórmula homológica produce la respuesta esperada. Entonces, por ejemplo, si V y W se encuentran transversalmente en x , la multiplicidad es 1. Si V es una línea tangente en un punto x a una parábola W en un plano en un punto x , entonces la multiplicidad en x es 2.
Si tanto V como W están cortados localmente por secuencias regulares , por ejemplo, si no son singulares , entonces en la fórmula anterior todos los Tor superiores se desvanecen, por lo tanto, la multiplicidad es positiva. La positividad en el caso arbitrario es una de las conjeturas de multiplicidad de Serre .
Definiciones adicionales
La definición puede generalizarse enormemente, por ejemplo, a intersecciones a lo largo de subvariedades en lugar de solo en puntos, o a variedades completas arbitrarias.
En topología algebraica, el número de intersección aparece como el dual de Poincaré del producto de taza . Específicamente, si dos variedades, X e Y , se cruzan transversalmente en una variedad M , la clase de homología de la intersección es el dual de Poincaré del producto de copa.de los duales Poincaré de X y Y .
Definición de Snapper-Kleiman del número de intersección
Existe un enfoque del número de intersección, introducido por Snapper en 1959-60 y desarrollado más tarde por Cartier y Kleiman, que define un número de intersección como una característica de Euler.
Deje que X sea un esquema sobre un sistema de S , PIC ( X ) el grupo de Picard de X y G el grupo de Grothendieck de la categoría de gavillas coherentes en X cuyo soporte es adecuado sobre un subesquema Artinian de S .
Para cada L en Pic ( X ), defina el endomorfismo c 1 ( L ) de G (llamado la primera clase Chern de L ) por
Es aditivo en G ya que la tensión con un paquete de líneas es exacta. Uno también tiene:
- ; En particular, y viajar diariamente.
- (esto no es trivial y se sigue de un argumento de dévissage ).
El número de intersección
de paquetes de líneas L i se define entonces por:
donde χ denota la característica de Euler . Alternativamente, uno tiene por inducción:
Cada vez que F se fija,es un funcional simétrico en L i 's.
Si L i = O X ( D i ) para algunos divisores de Cartier D i , entonces escribiremos para el número de intersección.
Dejar ser un morfismo de esquemas S ,paquetes de líneas en X y F en G con. Luego
- . [2]
Multiplicidades de intersección para curvas planas
Hay una función única que asigna a cada triplete que consta de un par de curvas proyectivas, y , en y un punto , un número llamada multiplicidad de intersección de y a que satisfaga las siguientes propiedades:
- si y solo si y tienen un factor común que es cero en
- si y solo si uno de o no es cero (es decir, el punto está fuera de una de las curvas)
- dónde
- para cualquier
Aunque estas propiedades caracterizan completamente la multiplicidad de intersecciones, en la práctica se realiza de varias formas diferentes.
Una realización de la multiplicidad de intersección es a través de la dimensión de un cierto espacio de cociente del anillo de la serie de potencias. . Al hacer un cambio de variables si es necesario, podemos asumir que. Dejar y ser los polinomios que definen las curvas algebraicas que nos interesan. Si las ecuaciones originales se dan en forma homogénea, estas se pueden obtener estableciendo . Dejar denotar el ideal de generado por y . La multiplicidad de intersección es la dimensión de como un espacio vectorial sobre .
Otra realización de la multiplicidad de intersección proviene de la resultante de los dos polinomios y . En coordenadas donde, las curvas no tienen otras intersecciones con , y el grado de con respecto a es igual al grado total de , puede definirse como el mayor poder de que divide la resultante de y (con y vistos como polinomios sobre ).
La multiplicidad de intersecciones también se puede realizar como el número de intersecciones distintas que existen si las curvas se alteran ligeramente. Más específicamente, si y definir curvas que se cruzan solo una vez en el cierre de un conjunto abierto, luego para un conjunto denso de , y son suaves y se cruzan transversalmente (es decir, tienen diferentes líneas tangentes) en exactamente algún número puntos en . Decimos entonces que.
Ejemplo
Considere la intersección del eje x con la parábola
Luego
y
entonces
Por tanto, el grado de intersección es dos; es una tangencia ordinaria .
Auto-intersecciones
Algunos de los números de intersección más interesantes para calcular son los números de auto-intersección . Esto no debe tomarse en un sentido ingenuo. Lo que se quiere decir es que, en una clase de equivalencia de divisores de algún tipo específico, se cruzan dos representantes que están en posición general uno con respecto al otro. De esta manera, los números de auto-intersección pueden volverse bien definidos e incluso negativos.
Aplicaciones
El número de intersección está motivado en parte por el deseo de definir la intersección para satisfacer el teorema de Bézout .
El número de intersección surge en el estudio de puntos fijos , que pueden definirse inteligentemente como intersecciones de gráficos de funciones con diagonales . El cálculo de los números de intersección en los puntos fijos cuenta los puntos fijos con multiplicidad y conduce al teorema de punto fijo de Lefschetz en forma cuantitativa.
Notas
- ^ Serre, Jean-Pierre (1965). Algèbre locale, multiplicités . Apuntes de clase en matemáticas. 11 . Springer-Verlag. págs. x + 160.
- ^ Kollár 1996 , Capítulo VI. Proposición 2.11
Referencias
- William Fulton (1974). Curvas algebraicas . Serie de notas de clase de matemáticas. WA Benjamin. págs. 74–83. ISBN 0-8053-3082-8.
- Robin Hartshorne (1977). Geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas . 52 . ISBN 0-387-90244-9. Apéndice A.
- William Fulton (1998). Teoría de la intersección (2ª ed.). Saltador. ISBN 9780387985497.
- Curvas algebraicas: una introducción a la geometría algebraica , por William Fulton con Richard Weiss. Nueva York: Benjamin, 1969. Reimpresión ed .: Redwood City, CA, EE.UU .: Addison-Wesley, Advanced Book Classics, 1989. ISBN 0-201-51010-3 . Texto completo en línea .
- Hershel M. Farkas; Irwin Kra (1980). Superficies Riemann . Textos de Posgrado en Matemáticas . 71 . págs. 40–41, 55–56. ISBN 0-387-90465-4.
- Kleiman, Steven L. (2005), "El esquema de Picard: Apéndice B.", Geometría algebraica fundamental , Matemáticas. Surveys Monogr., 123 , Providence, RI: American Mathematical Society , arXiv : math / 0504020 , Bibcode : 2005math ...... 4020K , MR 2223410
- Kollár, János (1996), Curvas racionales sobre variedades algebraicas , Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-662-03276-3 , ISBN 978-3-642-08219-1, MR 1440180