En geometría algebraica real , la desigualdad de Łojasiewicz , llamada así por Stanisław Łojasiewicz , da un límite superior para la distancia de un punto al cero más cercano de una función analítica real dada . Específicamente, sea ƒ: U → R una función analítica real en un conjunto abierto U en R n , y sea Z el lugar geométrico cero de ƒ. Suponga que Z no está vacío. Entonces, para cualquier conjunto compacto K en U , existen constantes positivas α y C tales que, para todo xen K
Aquí α puede ser grande.
La siguiente forma de esta desigualdad se ve a menudo en contextos más analíticos: con los mismos supuestos sobre ƒ, para cada p ∈ U hay una vecindad abierta W de p posiblemente más pequeña y constantes θ ∈ (0,1) yc > 0 tales que
Un caso especial de la desigualdad de Łojasiewicz, debido a Polyak convergencia lineal de los algoritmos de descenso de gradientes . [1]
, se usa comúnmente para probar laReferencias
- ^ Karimi, Hamed; Nutini, Julie; Schmidt, Mark (2016). "Convergencia lineal de métodos de gradiente y gradiente proximal bajo la condición de Polyak-Łojasiewicz". arXiv : 1608.04636 . Cite journal requiere
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( ayuda )
- Bierstone, Edward; Milman, Pierre D. (1988), "Conjuntos semianalíticos y subanalíticos" , Publications Mathématiques de l'IHÉS (67): 5–42, ISSN 1618-1913 , MR 0972342
- Ji, Shanyu; Kollár, János; Shiffman, Bernard (1992), "Una desigualdad global de Łojasiewicz para variedades algebraicas" , Transactions of the American Mathematical Society , 329 (2): 813–818, doi : 10.2307 / 2153965 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 2153965 , MR 1046016