(g,K)-módulo

En matemáticas , más específicamente en la teoría de la representación de grupos de Lie reductivos , un módulo es un objeto algebraico, introducido por primera vez por Harish-Chandra , ^[1] que se usa para tratar con representaciones infinitas continuas utilizando técnicas algebraicas. Harish-Chandra demostró que el estudio de representaciones unitarias irreducibles de un grupo de Lie reductivo real, G , podría reducirse al estudio de módulos -irreducibles, donde el álgebra de Lie de G y K es un subgrupo compacto máximo de G $({\mathfrak {g}},K)$ $({\mathfrak {g}},K)$ ${\mathfrak {g}}$ . ^[2]

Sea G un grupo de mentira real. Sea su álgebra de Lie, y K un subgrupo compacto máximo con álgebra de Lie . Un -módulo se define de la siguiente manera: ^[3] es un espacio vectorial V que es a la vez una representación de álgebra de Lie y una representación de grupo de K (sin tener en cuenta la topología de K ) que satisface las siguientes tres condiciones ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {k}}$ $({\mathfrak {g}},K)$ ${\mathfrak {g}}$

En lo anterior, el punto, , denota tanto la acción de sobre V como la de K . La notación Ad( k ) denota la acción conjunta de G sobre , y Kv es el conjunto de vectores cuando k varía sobre todo K . $\cdot$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ $k\cdot v$

La primera condición puede entenderse como sigue: si G es el grupo lineal general GL( n , R ), entonces es el álgebra de todas las matrices n por n , y la acción adjunta de k sobre X es kXk ⁻¹ ; la condición 1 se puede leer entonces como ${\mathfrak {g}}$

En otras palabras, es un requisito de compatibilidad entre las acciones de K sobre V , sobre V y K sobre . La tercera condición es también una condición de compatibilidad, esta vez entre la acción de sobre V vista como una sub-álgebra de Lie de y su acción vista como el diferencial de la acción de K sobre V. ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {k}}$ ${\mathfrak {g}}$