En matemáticas , un subgrupo compacto máximo K de un grupo topológico G es un subgrupo K que es un espacio compacto , en la topología del subespacio , y máximo entre dichos subgrupos.
Los subgrupos compactos máximos juegan un papel importante en la clasificación de los grupos de Lie y especialmente los grupos de Lie semi-simples. Los subgrupos compactos máximos de grupos de Lie no son en general únicos, pero son únicos hasta la conjugación : son esencialmente únicos .
Ejemplo
Un ejemplo sería el subgrupo O (2), el grupo ortogonal , dentro del grupo lineal general GL (2, R ). Un ejemplo relacionado es el grupo circular SO (2) dentro de SL (2, R ) . Evidentemente, SO (2) dentro de GL (2, R ) es compacto y no máximo. La no unicidad de estos ejemplos puede verse como cualquier producto interior tiene un grupo ortogonal asociado, y la unicidad esencial corresponde a la unicidad esencial del producto interior.
Definición
Un subgrupo máximo compacto es un subgrupo máximo entre subgrupos compactos - un máximo (subgrupo compacto) - en lugar de ser (lectura alternativa posible) un subgrupo máximo que resulta ser compacto; lo que probablemente se llamaría compacto (subgrupo máximo) , pero en cualquier caso no es el significado pretendido (y de hecho, los subgrupos propios máximos no son en general compacto).
Existencia y singularidad
El teorema de Cartan-Iwasawa-Malcev afirma que todo grupo de Lie conectado (y de hecho todo grupo localmente compacto conectado) admite subgrupos compactos máximos y que todos están conjugados entre sí. Para un grupo de Lie semisimple, la unicidad es una consecuencia del teorema del punto fijo de Cartan , que afirma que si un grupo compacto actúa mediante isometrías en una variedad Riemanniana completa simplemente conectada curvada negativamente, entonces tiene un punto fijo.
Subgrupos compactos máximas de los grupos de Lie conectados son por lo general no único, pero son hasta única para la conjugación, lo que significa que dadas dos subgrupos compactos máximas K y L , hay un elemento g ∈ G tal que [1] GKG -1 = L . Por tanto, un subgrupo máximo compacto es esencialmente único , y la gente suele hablar del "" subgrupo máximo compacto.
Para el ejemplo del grupo lineal general GL ( n , R ), esto corresponde al hecho de que cualquier producto interno en R n define un grupo ortogonal (compacto) (su grupo de isometría) - y que admite una base ortonormal: el cambio de base define el elemento de conjugación que conjuga el grupo de isometría con el grupo ortogonal clásico O ( n , R ).
Pruebas
Para un grupo de Lie semisimple real, la prueba de Cartan de la existencia y unicidad de un subgrupo compacto máximo puede encontrarse en Borel (1950) y Helgason (1978) . Cartier (1955) y Hochschild (1965) discuten la extensión a grupos de Lie conectados y grupos compactos localmente conectados.
Para los grupos semisimple, la existencia es una consecuencia de la existencia de una forma real compacta del grupo de Lie semisimple no compacto y la correspondiente descomposición de Cartan . La prueba de unicidad se basa en el hecho de que el correspondiente espacio simétrico de Riemann G / K tiene una curvatura negativa y el teorema del punto fijo de Cartan. Mostow (1955) mostró que la derivada del mapa exponencial en cualquier punto de G / K satisface | d exp X | ≥ | X |. Esto implica que G / K es un espacio de Hadamard , es decir, un espacio métrico completo que satisface una forma debilitada de la regla del paralelogramo en un espacio euclidiano. La unicidad puede entonces deducirse del teorema del punto fijo de Bruhat-Tits . De hecho, cualquier conjunto cerrado acotado en un espacio de Hadamard está contenido en una única bola cerrada más pequeña, cuyo centro se llama circuncentro . En particular, un grupo compacto que actúa por isometrías debe fijar el circuncentro de cada una de sus órbitas.
Prueba de unicidad para grupos semisimple
Mostow (1955) también relacionó el problema general de los grupos semisimple con el caso de GL ( n , R ). El espacio simétrico correspondiente es el espacio de matrices simétricas positivas. Hilgert y Neeb (2012) dan una prueba directa de la unicidad que se basa en las propiedades elementales de este espacio .
Dejar ser un álgebra de Lie semisimple real con involución de Cartan σ. Por lo tanto, el subgrupo de punto fijo de σ es el subgrupo compacto máximo K y hay una descomposición del espacio propio
dónde , el álgebra de Lie de K , es el espacio propio +1. La descomposición de Cartan da
Si B es el formulario de Matanza endado por B ( X , Y ) = Tr (ad X) (ad Y), entonces
es un producto interior real en . Bajo la representación adjunta, K es el subgrupo de G que conserva este producto interno.
Si H es otro subgrupo compacto de G , entonces promediando el producto interior sobre H con respecto a la medida de Haar da un invariante producto interno bajo H . Los operadores Ad p con p en P son operadores simétricos positivos. Este nuevo producto interno se puede escribir como
donde S es un operador simétrico positivo ental que Ad ( h ) t S Ad h = S para h en H (con las transposiciones calculadas con respecto al producto interno). Además, para x en G ,
Entonces, para h en H ,
Para X en definir
Si e i es una base ortonormal de autovectores para S con Se i = λ i e i , entonces
de modo que f es estrictamente positivo y tiende a ∞ como | X | tiende a ∞. De hecho, esta norma es equivalente a la norma del operador en los operadores simétricos ad X y cada valor propio distinto de cero ocurre con su negativo, ya que i ad X es un operador adjunto sesgado en la forma real compacta.
Entonces f tiene un mínimo global en Y digamos. Este mínimo es único, porque si Z fuera otro entonces
donde X en se define por la descomposición de Cartan
Si f i es una base ortonormal de autovectores de ad X con sus correspondientes autovalores reales μ i , entonces
Dado que el lado derecho es una combinación positiva de exponenciales, la función de valor real g es estrictamente convexa si X ≠ 0, por lo que tiene un mínimo único. Por otro lado, tiene mínimos locales en t = 0 y t = 1, por lo tanto, X = 0 yp = exp Y es el mínimo global único. Por construcción f ( x ) = f (σ ( h ) xh -1 ) para h en H , de modo que p = σ ( h ) pH -1 para h en H . Por tanto, σ ( h ) = php −1 . En consecuencia, si g = exp Y / 2, gEi -1 se fija por σ y por lo tanto reside en K .
Aplicaciones
Teoría de la representación
Los subgrupos compactos máximos juegan un papel básico en la teoría de la representación cuando G no es compacto. En ese caso, un subgrupo compacto máximo K es un grupo de Lie compacto (ya que un subgrupo cerrado de un grupo de Lie es un grupo de Lie), para lo cual la teoría es más fácil.
Las operaciones relativas las teorías de representación de G y K están restringiendo representaciones de G a K , y la inducción de representaciones de K a G , y estos son bastante bien entendido; su teoría incluye la de las funciones esféricas .
Topología
La topología algebraica de los grupos de Lie también se realiza en gran medida por un subgrupo compacto maximal K . Para ser precisos, un grupo de Lie conectado es un producto topológico (aunque no un producto teórico de grupo) de un máximo compacto K y un espacio euclidiano - G = K × R d - por lo tanto, en particular, K es una deformación retraída de G, y es homotopía equivalente , y por lo tanto tienen los mismos grupos de homotopía . De hecho, la inclusión y la retracción de la deformación son equivalencias de homotopía .
Para el grupo lineal general, esta descomposición es la descomposición QR y la retracción de la deformación es el proceso de Gram-Schmidt . Para un grupo de Lie semisimple general, la descomposición es la descomposición de Iwasawa de G como G = KAN en la que K aparece en un producto con un subgrupo contráctil AN .
Ver también
- Subgrupo hiperespecial
- Grupo de mentiras complejo
Notas
- ^ Tenga en cuenta que este elemento g no es único; cualquier elemento de la misma clase lateral gK también lo haría.
Referencias
- Borel, Armand (1950), Sous-groupes compacts maximaux des groupes de Lie (Exposé No. 33) , Séminaire Bourbaki, 1
- Cartier, P. (1955), Structure topologique des groupes de Lie généraux (Exposé No. 22) , Séminaire "Sophus Lie", 1
- Dieudonné, J. (1977), Grupos de Lie compactos y grupos de Lie semisimple, Capítulo XXI , Tratado de análisis, 5 , Academic Press, ISBN 012215505X
- Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, Grupos de Lie y espacios simétricos , Academic Press, ISBN 978-0-12-338460-7
- Hilgert, Joachim; Neeb, Karl-Hermann (2012), Estructura y geometría de los grupos de Lie , monografías de Springer en matemáticas, Springer, ISBN 0387847944
- Hochschild, G. (1965), La estructura de los grupos de Lie , Holden-Day
- Mostow, GD (1955), Algunos nuevos teoremas de descomposición para grupos semi-simples , Mem. Amer. Matemáticas. Soc., 14 , págs. 31–54
- Onishchik, AL; Vinberg, EB (1994), Lie Groups and Lie Algebras III: Structure of Lie Groups and Lie Algebras , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 41 , Springer, ISBN 9783540546832
- Malcev, A. (1945), "Sobre la teoría de los grupos de Lie en los grandes", Mat. Sbornik , 16 : 163–189
- Iwasawa, K. (1949), "Sobre algunos tipos de grupos topológicos", Ann. de Matemáticas. , 50 : 507–558, doi : 10.2307 / 1969548