Mapa de Abel – Jacobi

En matemáticas , el mapa de Abel-Jacobi es una construcción de geometría algebraica que relaciona una curva algebraica con su variedad jacobiana . En la geometría de Riemann , es una construcción más general que asigna una variedad a su toro de Jacobi. El nombre deriva del teorema de Abel y Jacobi de que dos divisores efectivos son linealmente equivalentes si y solo si son indistinguibles bajo el mapa de Abel-Jacobi.

En geometría algebraica compleja , el jacobiano de una curva C se construye mediante la integración de trayectorias. Es decir, supongamos que C tiene el género g , lo que significa topológicamente que

Geométricamente, este grupo de homología consiste en (clases de homología de) ciclos en C , o en otras palabras, bucles cerrados. Por tanto, podemos elegir bucles de 2 g para generarlo. Por otro lado, otra forma más algebro-geométrica de decir que el género de C es g es que ${\ Displaystyle \ gamma _ {1}, \ ldots, \ gamma _ {2g}}$

Por definición, este es el espacio de formas diferenciales holomórficas definidas globalmente en C , por lo que podemos elegir g formas linealmente independientes . Dadas formas y bucles cerrados podemos integrar, y definimos 2 g vectores ${\ Displaystyle \ omega _ {1}, \ ldots, \ omega _ {g}}$

De las relaciones bilineales de Riemann se sigue que generan una red no degenerada (es decir, son una base real para ), y el jacobiano se define por ${\ Displaystyle \ Omega _ {j}}$ ${\ Displaystyle \ Lambda}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {g} \ cong \ mathbb {R} ^ {2g}}$

El mapa de Abel-Jacobi se define de la siguiente manera. Elegimos un punto base y, casi imitando la definición de definir el mapa ${\ Displaystyle p_ {0} \ in C}$ ${\ Displaystyle \ Lambda,}$