En matemáticas , la variedad jacobiana J ( C ) de una curva algebraica no singular C del género g es el espacio de módulos de los haces de líneas de grado 0 . Es el componente conectado de la identidad en el grupo Picard de C , por lo tanto, una variedad abeliana .
Introducción
La variedad jacobiana lleva el nombre de Carl Gustav Jacobi , quien demostró la versión completa del teorema de Abel-Jacobi , convirtiendo el enunciado de inyectividad de Niels Abel en un isomorfismo. Es una variedad abeliana principalmente polarizada , de dimensión g , y por tanto, sobre los números complejos, es un toro complejo . Si p es un punto de C , entonces la curva C se puede asignar a una subvariedad de J con el punto p dado que se asigna a la identidad de J , y C genera J como un grupo .
Construcción para curvas complejas
Sobre los números complejos, la variedad jacobiana se puede realizar como el espacio cociente V / L , donde V es el dual del espacio vectorial de todos los diferenciales holomórficos globales en C y L es la red de todos los elementos de V de la forma.
donde γ es una cerrada camino en C . En otras palabras,
con incrustado en a través del mapa de arriba. Esto se puede hacer explícitamente con el uso de funciones theta . [1]
El jacobiano de una curva sobre un campo arbitrario fue construido por Weil (1948) como parte de su demostración de la hipótesis de Riemann para curvas sobre un campo finito.
El teorema de Abel-Jacobi establece que el toro así construido es una variedad, el jacobiano clásico de una curva, que de hecho parametriza los haces de líneas de grado 0, es decir, se puede identificar con su variedad Picard de divisores de grado 0 módulo de equivalencia lineal.
Estructura algebraica
Como grupo, la variedad jacobiana de una curva es isomorfa al cociente del grupo de divisores de grado cero por el subgrupo de divisores principales, es decir, divisores de funciones racionales. Esto es válido para campos que no están cerrados algebraicamente, siempre que se consideren divisores y funciones definidas sobre ese campo.
Nociones adicionales
El teorema de Torelli establece que una curva compleja está determinada por su jacobiano (con su polarización).
El problema de Schottky pregunta qué variedades abelianas polarizadas principalmente son las jacobianas de las curvas.
La variedad Picard , la variedad albanesa , el jacobiano generalizado y los jacobianos intermedios son generalizaciones del jacobiano para variedades de dimensiones superiores. Para variedades de mayor dimensión, la construcción de la variedad jacobiana como un cociente del espacio de formas 1 holomórficas se generaliza para dar la variedad albanesa , pero en general no es necesario que sea isomorfa a la variedad Picard.
Ver también
- Matriz de período: las matrices de período son una técnica útil para calcular el jacobiano de una curva
- Estructura de Hodge : estas son generalizaciones de los jacobianos
- Teorema de Honda-Tate : clasifica las variedades abelianas en campos finitos hasta la isogenia
- Jacobiano intermedio
Referencias
- ^ David, Mumford; Nori, Madhav; Previato, Emma; Stillman, Mike. Tata Conferencias sobre Theta I . Saltador.
Técnicas de computación
- Matrices de períodos de curvas hiperelípticas
- Abeliants y su aplicación a una construcción elemental de jacobianos - técnicas para construir jacobianos
Clases de isogenia
- Familias infinitas de pares de curvas sobre Q con jacobianos isomorfos
- Variedades abelianas isógenas a un jacobiano
- Variedades abelianas isógenas a no jacobianas
Criptografía
General
- P. Griffiths ; J. Harris (1994), Principios de geometría algebraica , Biblioteca de clásicos de Wiley, Wiley Interscience, págs. 333–363, ISBN 0-471-05059-8
- Jacobi, CGJ (1832), "Considerationes generales de transcendentibus abelianis", J. Reine Angew. Matemáticas. , 9 : 349–403
- Jacobi, CGJ (1835), "De functionibus duarum variabilium quadrupliciter periodicis, quibus theoria transcendentium abelianarum innititur", J. Reine Angew. Matemáticas. , 13 : 55–78
- JS Milne (1986), "Variedades jacobianas", Geometría aritmética , Nueva York: Springer-Verlag, págs. 167–212, ISBN 0-387-96311-1
- Mumford, David (1975), Curves y sus jacobianos , The University of Michigan Press, Ann Arbor, Michigan, MR 0419430
- Shokurov, VV (2001) [1994], "Variedad Jacobi" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Weil, André (1948), Variétés abéliennes et courbes algébriques , París: Hermann, MR 0029522 , OCLC 826112
- Hartshorne, Robin (19 de diciembre de 1977), Geometría algebraica , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-90244-9