La teoría acústica es un campo científico que se relaciona con la descripción de ondas sonoras . Se deriva de la dinámica de fluidos . Consulte acústica para el enfoque de ingeniería .
Para ondas sonoras de cualquier magnitud de perturbación en velocidad, presión y densidad, tenemos
![{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ parcial \ rho '} {\ parcial t}} + \ rho _ {0} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} + \ nabla \ cdot (\ rho' \ mathbf {v}) & = 0 \ qquad {\ text {(Conservación de masa)}} \\ (\ rho _ {0} + \ rho ') {\ frac {\ partial \ mathbf {v}} {\ t}} parcial + (\ rho _ {0} + \ rho ') (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {v} + \ nabla p' & = 0 \ qquad {\ text {(Ecuación de Movimiento)}} \ end {alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En el caso de que las fluctuaciones en velocidad, densidad y presión sean pequeñas, podemos aproximarlas como
![{\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ parcial \ rho '} {\ parcial t}} + \ rho _ {0} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} & = 0 \\ {\ frac { \ parcial \ mathbf {v}} {\ parcial t}} + {\ frac {1} {\ rho _ {0}}} \ nabla p '& = 0 \ end {alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dónde
es la velocidad perturbada del fluido,
es la presión del fluido en reposo,
es la presión perturbada del sistema en función del espacio y el tiempo,
es la densidad del fluido en reposo, y
es la variación en la densidad del fluido en el espacio y el tiempo.
En el caso de que la velocidad sea irrotacional (
), tenemos la ecuación de onda acústica que describe el sistema:
![{\ Displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ phi} {\ parcial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} \ phi = 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Donde tenemos
![{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {v} & = - \ nabla \ phi \\ c ^ {2} & = ({\ frac {\ parciales p} {\ parciales \ rho}}) _ {s } \\ p '& = \ rho _ {0} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial t}} \\\ rho' & = {\ frac {\ rho _ {0}} {c ^ { 2}}} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial t}} \ end {alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Comenzando con la ecuación de continuidad y la ecuación de Euler:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \rho \mathbf {v} &=0\\\rho {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\rho (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p&=0\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si tomamos pequeñas perturbaciones de presión y densidad constantes:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\rho _{0}+\rho '\\p&=p_{0}+p'\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces las ecuaciones del sistema son
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho _{0}+\rho ')+\nabla \cdot (\rho _{0}+\rho ')\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla (p_{0}+p')&=0\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Teniendo en cuenta que las presiones y densidades de equilibrio son constantes, esto simplifica a
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un medio en movimiento
Empezando con
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {w} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {w} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {w} \cdot \nabla )\mathbf {w} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Podemos hacer que estas ecuaciones funcionen para un medio en movimiento estableciendo
, dónde
es la velocidad constante a la que se mueve todo el fluido antes de ser perturbado (equivalente a un observador en movimiento) y
es la velocidad del fluido.
En este caso, las ecuaciones se ven muy similares:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '+\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tenga en cuenta que la configuración
devuelve las ecuaciones en reposo.
Comenzando con las ecuaciones de movimiento dadas anteriormente para un medio en reposo:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ahora tomemos
a todos ser pequeñas cantidades.
En el caso de que mantengamos los términos en primer orden, para la ecuación de continuidad, tenemos el
término que va a 0. Esto se aplica de manera similar para la perturbación de densidad multiplicada por la derivada del tiempo de la velocidad. Además, los componentes espaciales de la derivada material van a 0. Así tenemos, al reordenar la densidad de equilibrio:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
A continuación, dado que nuestra onda de sonido ocurre en un fluido ideal, el movimiento es adiabático, y luego podemos relacionar el pequeño cambio en la presión con el pequeño cambio en la densidad por
![{\displaystyle p'=({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}})_{s}\rho '}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Bajo esta condición, vemos que ahora tenemos
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}+\rho _{0}({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}})_{s}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Definición de la velocidad del sonido del sistema:
![{\displaystyle c\equiv {\sqrt {({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}})_{s}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Todo se vuelve
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}+\rho _{0}c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para fluidos de irritación
En el caso de que el fluido sea irritante, es decir
, entonces podemos escribir
y así escribir nuestras ecuaciones de movimiento como
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}c^{2}\nabla ^{2}\phi &=0\\-\nabla {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La segunda ecuación nos dice que
![{\displaystyle p'=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Y el uso de esta ecuación en la ecuación de continuidad nos dice que
![{\displaystyle \rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t}}-\rho _{0}c^{2}\nabla ^{2}\phi =0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esto simplifica a
![{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi =0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto, el potencial de velocidad
obedece a la ecuación de onda en el límite de pequeñas perturbaciones. Las condiciones de contorno requeridas para resolver el potencial provienen del hecho de que la velocidad del fluido debe ser normal a las superficies fijas del sistema.
Tomando la derivada en el tiempo de esta ecuación de onda y multiplicando todos los lados por la densidad no perturbada, y luego usando el hecho de que
nos dice que
![{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p'}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p'=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Del mismo modo, vimos que
. Por lo tanto, podemos multiplicar la ecuación anterior de manera apropiada y ver que
![{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\rho '=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por tanto, el potencial de velocidad, la presión y la densidad obedecen a la ecuación de onda. Además, solo necesitamos resolver una de esas ecuaciones para determinar las otras tres. En particular, tenemos
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\p'&=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para un medio en movimiento
Nuevamente, podemos derivar el límite de pequeñas perturbaciones para las ondas sonoras en un medio en movimiento. Nuevamente, comenzando con
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '+\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Podemos linealizarlos en
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para fluidos de irritación en un medio en movimiento
Dado que vimos que
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si hacemos las suposiciones anteriores de que el fluido es ideal y la velocidad es irrotacional, entonces tenemos
![{\displaystyle {\begin{aligned}p'&=({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}})_{s}\rho '=c^{2}\rho '\\\mathbf {v} &=-\nabla \phi \end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Bajo estos supuestos, nuestras ecuaciones de sonido linealizadas se convierten en
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla p'&=0\\-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \phi )-(\mathbf {u} \cdot \nabla )[\nabla \phi ]+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Es importante destacar que desde
es una constante, tenemos
, y luego la segunda ecuación nos dice que
![{\displaystyle {\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'=\nabla [{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
O solo eso
![{\displaystyle p'=\rho _{0}[{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ahora, cuando usamos esta relación con el hecho de que
, además de cancelar y reorganizar los términos, llegamos a
![{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}[(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {u} \cdot \nabla \phi )+{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Podemos escribir esto en una forma familiar como
![{\displaystyle [{\frac {1}{c^{2}}}({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla )^{2}-\nabla ^{2}]\phi =0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta ecuación diferencial debe resolverse con las condiciones de contorno adecuadas. Tenga en cuenta que la configuración
nos devuelve la ecuación de onda. Independientemente, al resolver esta ecuación para un medio en movimiento, tenemos
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\p'&=\rho _{0}({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi \\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi \end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)