En la teoría de conjuntos , un número ordinal α es un ordinal admisible si L α es un conjunto admisible (es decir, un modelo transitivo de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek ); en otras palabras, α es admisible cuando α es un ordinal límite y L α ⊧ Σ 0 -colección. [1] [2]
Los dos primeros ordinales admisibles son ω y (el ordinal menos no recursivo , también llamado ordinal Church-Kleene ). [2] Cualquier cardinal incontable regular es un ordinal admisible.
Según un teorema de Sacks , los ordinales contables admisibles son exactamente aquellos construidos de manera similar al ordinal de Church-Kleene, pero para máquinas de Turing con oráculos . [1] A veces se escribe Para el -th ordinal que es admisible o un límite de admisibles; un ordinal que es ambos se llama recursivamente inaccesible . [3] Existe una teoría de los grandes ordinales de esta manera que es muy paralela a la de los (pequeños) grandes cardenales (se pueden definir recursivamente ordinales Mahlo , por ejemplo). [4] Pero todos estos ordinales siguen siendo contables. Por lo tanto, los ordinales admisibles parecen ser el análogo recursivo de los números cardinales regulares .
Observe que α es un ordinal admisible si y solo si α es un ordinal límite y no existe un γ < α para el cual hay un mapeo de Σ 1 (L α ) de γ a α . [5] Si M es un modelo estándar de KP, entonces el conjunto de ordinales en M es un ordinal admisible.
Ver también
Referencias
- ↑ a b Friedman, Sy D. (1985), "Teoría de la estructura fina y sus aplicaciones", Teoría de la recursividad (Ithaca, NY, 1982) , Proc. Simpos. Pure Math., 42 , Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, págs. 259-269, doi : 10.1090 / pspum / 042/791062 , MR 0791062. Ver en particular la p. 265 .
- ^ a b Fitting, Melvin (1981), Fundamentos de la teoría de la recursividad generalizada , Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas, 105 , North-Holland Publishing Co., Amsterdam-Nueva York, p. 238, ISBN 0-444-86171-8, MR 0644315.
- ^ Friedman, Sy D. (2010), "Constructibilidad y forzamiento de clases", Manual de teoría de conjuntos. Vols. 1, 2, 3 , Springer, Dordrecht, págs. 557–604, doi : 10.1007 / 978-1-4020-5764-9_9 , MR 2768687. Ver en particular la p. 560 .
- ^ Kahle, Reinhard; Setzer, Anton (2010), "Una definición predicativa extendida del universo Mahlo", Formas de teoría de la prueba , Ontos Math. Log., 2 , Ontos Verlag, Heusenstamm, págs. 315–340, MR 2883363.
- ↑ K. Devlin, Introducción a la fina estructura de la jerarquía constructible (1974) (p. 38). Consultado el 6 de mayo de 2021.