La desigualdad de Agmon

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En análisis matemático , las desigualdades de Agmon , llamadas así por Shmuel Agmon , ^[1] consisten en dos desigualdades de interpolación estrechamente relacionadas entre el espacio de Lebesgue y los espacios de Sobolev . Es útil en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales .${\ Displaystyle L ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle H ^ {s}}$

Dejemos donde ^{[ vago ]} . Entonces, las desigualdades de Agmon en 3D establecen que existe una constante tal que${\ Displaystyle u \ in H ^ {2} (\ Omega) \ cap H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$${\ Displaystyle \ Omega \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle C}$

En 2D, la primera desigualdad todavía se mantiene, pero no la segunda: dejemos dónde . Entonces, la desigualdad de Agmon en 2D establece que existe una constante tal que${\ Displaystyle u \ in H ^ {2} (\ Omega) \ cap H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$${\ Displaystyle \ Omega \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle C}$

Para el caso -dimensional, elija y tal que . Entonces, si y , la siguiente desigualdad es válida para cualquier${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle s_ {1}}$${\displaystyle s_{2}}$${\displaystyle s_{1}<{\tfrac {n}{2}}<s_{2}}$${\displaystyle 0<\theta <1}$${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}=\theta s_{1}+(1-\theta )s_{2}}$${\displaystyle u\in H^{s_{2}}(\Omega )}$

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