En mecánica cuántica , el operador de momento angular es uno de varios operadores relacionados análogos al momento angular clásico . El operador de momento angular juega un papel central en la teoría de la física atómica y molecular y otros problemas cuánticos que involucran simetría rotacional . Dicho operador se aplica a una representación matemática del estado físico de un sistema y produce un valor de momento angular si el estado tiene un valor definido para él. Tanto en los sistemas mecánicos clásicos como en los cuánticos, el momento angular (junto con el momento lineal y la energía ) es una de las tres propiedades fundamentales del movimiento. [1]
Hay varios operadores de momento angular: momento angular total (generalmente denominado J ), momento angular orbital (generalmente denominado L ) y momento angular de espín ( espín para abreviar, generalmente denominado S ). El término operador de momento angular puede (de manera confusa) referirse al momento angular total o al orbital. El momento angular total siempre se conserva , consulte el teorema de Noether .
Descripción general
En mecánica cuántica, el momento angular puede referirse a una de tres cosas diferentes, pero relacionadas.
Momento angular orbital
La definición clásica de momento angular es. Las contrapartes de la mecánica cuántica de estos objetos comparten la misma relación:
donde r es el operador de posición cuántica , p es el operador de momento cuántico , × es el producto cruzado y L es el operador de momento angular orbital . L (al igual que p y r ) es un operador de vector (un vector cuyos componentes son los operadores), es decirdonde L x , L y , L z son tres operadores mecánicos cuánticos diferentes.
En el caso especial de una sola partícula sin carga eléctrica y sin espín , el operador del momento angular orbital se puede escribir en la base de la posición como:
donde ∇ es el operador diferencial vectorial, del .
Momento angular de giro
Hay otro tipo de momento angular, llamado momento angular de giro (más a menudo abreviado como giro ), representado por el operador de giro.. El giro se describe a menudo como una partícula que gira literalmente alrededor de un eje, pero esto es solo una metáfora: el giro es una propiedad intrínseca de una partícula, no relacionada con ningún tipo de movimiento (aunque observable experimentalmente) en el espacio. Todas las partículas elementales tienen un giro característico, que generalmente es distinto de cero. Por ejemplo, los electrones siempre tienen "espín 1/2" mientras que los fotones siempre tienen "espín 1" (detalles a continuación ).
Momento angular total
Finalmente, hay un momento angular total , que combina el momento angular de rotación y orbital de una partícula o sistema:
La conservación del momento angular establece que se conserva J para un sistema cerrado o J para todo el universo. Sin embargo, L y S están no generalmente se conservan. Por ejemplo, la interacción espín-órbita permite que el momento angular se transfiera hacia adelante y hacia atrás entre L y S , con el total J permaneciendo constante.
Relaciones de conmutación
Relaciones de conmutación entre componentes
El operador de momento angular orbital es un operador vectorial, lo que significa que se puede escribir en términos de sus componentes vectoriales . Los componentes tienen las siguientes relaciones de conmutación entre sí: [2]
donde [,] denota el conmutador
Esto se puede escribir generalmente como
- ,
donde l , m , n son los índices de los componentes (1 para x , 2 para y , 3 para z ), y ε lmn denota el símbolo de Levi-Civita .
También es posible una expresión compacta como una ecuación vectorial: [3]
Las relaciones de conmutación pueden demostrarse como una consecuencia directa de las relaciones de conmutación canónicas , donde δ lm es el delta de Kronecker .
Existe una relación análoga en la física clásica: [4]
donde L n es un componente del operador de momento angular clásico , yes el soporte de Poisson .
Las mismas relaciones de conmutación se aplican a los otros operadores de momento angular (giro y momento angular total): [5]
- .
Estos pueden ser asumidas para sostener de manera análoga a L . Alternativamente, se pueden derivar como se describe a continuación .
Estas relaciones de conmutación significan que L tiene la estructura matemática de un álgebra de Lie , y ε lmn son sus constantes de estructura . En este caso, el álgebra de Lie es SU (2) o SO (3) en notación física ( o respectivamente en notación matemática), es decir, álgebra de Lie asociada con rotaciones en tres dimensiones. Lo mismo es cierto de J y S . La razón se analiza a continuación . Estas relaciones de conmutación son relevantes para la medición y la incertidumbre, como se analiza más adelante.
En las moléculas del momento cinético total F es la suma de la rovibronic (orbital) de movimiento angular N , el espín electrónico momento angular S , y el espín nuclear momento angular I . Para los estados singlete electrónicos el momento angular rovibronic se denota J en lugar de N . Como explica Van Vleck, [6] los componentes del momento angular rovibrónico molecular referidos a ejes fijos por moléculas tienen relaciones de conmutación diferentes de las dadas anteriormente, que son para los componentes sobre ejes fijos en el espacio.
Relaciones de conmutación que involucran magnitud vectorial
Como cualquier vector, el cuadrado de una magnitud se puede definir para el operador de momento angular orbital,
- .
es otro operador cuántico . Conmuta con los componentes de,
Una forma de demostrar que estos operadores conmutan es comenzar a partir de las relaciones de conmutación [ L ℓ , L m ] de la sección anterior:
Haga clic en [mostrar] a la derecha para ver una prueba de [ L 2 , L x ] = 0, a partir de las relaciones de conmutación [ L ℓ , L m ] [7]
Matemáticamente, es un invariante de Casimir del álgebra de Lie SO (3) generado por.
Como anteriormente, existe una relación análoga en la física clásica:
dónde es un componente del operador de momento angular clásico , yes el soporte de Poisson . [8]
Volviendo al caso cuántico, las mismas relaciones de conmutación se aplican a los otros operadores de momento angular (giro y momento angular total), también,
Principio de incertidumbre
En general, en mecánica cuántica, cuando dos operadores observables no se conmutan, se denominan observables complementarios . No se pueden medir simultáneamente dos observables complementarios; en cambio, satisfacen un principio de incertidumbre . Cuanto más exactamente se conoce un observable, con menor precisión se puede conocer el otro. Así como existe un principio de incertidumbre que relaciona la posición y el momento, existen principios de incertidumbre para el momento angular.
La relación de Robertson-Schrödinger da el siguiente principio de incertidumbre:
dónde es la desviación estándar en los valores medidos de X ydenota el valor esperado de X . Esta desigualdad también es cierto si x, y, z se reordenan, o si L se sustituye por J o S .
Por lo tanto, dos componentes ortogonales del momento angular (por ejemplo, L x y L y ) son complementarias y no pueden conocerse o medirse simultáneamente, excepto en casos especiales como.
Sin embargo, es posible medir o especificar simultáneamente L 2 y cualquier componente de L ; por ejemplo, L 2 y L z . Esto suele ser útil y los valores se caracterizan por el número cuántico azimutal ( l ) y el número cuántico magnético ( m ). En este caso, el estado cuántico del sistema es un autoestado simultáneo de los operadores L 2 y L z , pero no de L x o L y . Los valores propios están relacionados con l y m , como se muestra en la siguiente tabla.
Cuantización
En mecánica cuántica , el momento angular se cuantifica , es decir, no puede variar continuamente, sino solo en "saltos cuánticos" entre ciertos valores permitidos. Para cualquier sistema, se aplican las siguientes restricciones sobre los resultados de la medición, dondese reduce la constante de Planck : [9]
Si mides ... | ... el resultado puede ser ... | Notas |
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, dónde | a veces se le llama número cuántico azimutal o número cuántico orbital . | |
, dónde | a veces se le llama número cuántico magnético . Esta misma regla de cuantificación se aplica a cualquier componente de ; p.ej,. Esta regla a veces se denomina cuantificación espacial . [10] | |
, dónde | s se llama número cuántico de espín o simplemente espín . Por ejemplo, una partícula de espín ½ es una partícula donde s = ½. | |
, dónde | a veces se le llama número cuántico de proyección de espín . Esta misma regla de cuantificación se aplica a cualquier componente de ; p.ej,. | |
, dónde | j a veces se denomina número cuántico de momento angular total . | |
, dónde | a veces se le llama número cuántico de proyección de momento angular total . Esta misma regla de cuantificación se aplica a cualquier componente de ; p.ej,. |
Derivación utilizando operadores de escalera
Una forma común de derivar las reglas de cuantificación anteriores es el método de operadores de escalera . [11] Los operadores de escalera para el momento angular total se definen como:
Suponer es un autoestado simultáneo de y (es decir, un estado con un valor definido para y un valor definido para ). Luego, usando las relaciones de conmutación para los componentes de, se puede probar que cada uno de los estados y es cero o un autoestado simultáneo de y , con el mismo valor que por pero con valores para que aumentan o disminuyen en respectivamente. El resultado es cero cuando el uso de un operador de escalera daría como resultado un estado con un valor paraque está fuera del rango permitido. Usando los operadores de escalera de esta manera, los posibles valores y números cuánticos para y puede ser encontrado.
Derivación de los posibles valores y números cuánticos para y . [12] Haga clic en [mostrar] a la derecha |
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Dejar ser una función de estado para el sistema con valor propio por y valor propio por . [nota 1] De es obtenido,
Aplicando ambos lados de la ecuación anterior a ,
Desde y son observables reales, no es negativo y . Por lo tanto tiene un límite superior e inferior. Dos de las relaciones de conmutación para los componentes de están,
Se pueden combinar para obtener dos ecuaciones, que se escriben juntas usando signos en lo siguiente,
donde una de las ecuaciones usa el signos y el otro usa el señales. Aplicando ambos lados de lo anterior a, Lo anterior muestra que son dos funciones propias de con valores propios respectivos , a menos que una de las funciones sea cero, en cuyo caso no es una función propia. Para las funciones que no son cero,
Otras funciones propias de y los valores propios correspondientes se pueden encontrar aplicando repetidamente siempre que la magnitud del valor propio resultante sea . Dado que los valores propios de están delimitados, deja ser el valor propio más bajo y ser el más alto. Luego
ya que no hay estados donde el valor propio de es o . Aplicando a la primera ecuación, al segundo, y usando , se puede demostrar que
Restando la primera ecuación de la segunda y reordenando,
Desde , el segundo factor es negativo. Entonces el primer factor debe ser cero y por lo tanto. La diferencia proviene de la aplicación sucesiva de o que reducen o aumentan el valor propio de por así que eso, Dejar
Luego usando y lo anterior,
y los valores propios permitidos de están
Expresando en términos de un número cuántico y sustituyendo dentro desde arriba, |
Desde y tienen las mismas relaciones de conmutación que , se les puede aplicar el mismo análisis en escalera, excepto que para hay una restricción adicional sobre los números cuánticos que deben ser enteros.
Derivación de la restricción a números cuánticos enteros para y . [13] Haga clic en [mostrar] a la derecha. |
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En la representación de Schroedinger, la componente z del operador de momento angular orbital se puede expresar en coordenadas esféricas como, [14]
Para y función propia con valor propio ,
Resolviendo para ,
dónde es independiente de . Desde se requiere tener un solo valor y agregar a da como resultado una coordenada para el mismo punto en el espacio,
Resolviendo el valor propio ,
De lo anterior y la relación , resulta que también es un número entero. Esto muestra que los números cuánticos y para el momento angular orbital están restringidos a enteros, a diferencia de los números cuánticos para el momento angular total y girar , que puede tener valores de medio entero. [dieciséis] A continuación se muestra una derivación alternativa . |
Interpretación visual
Dado que los momentos angulares son operadores cuánticos, no se pueden dibujar como vectores como en la mecánica clásica. Sin embargo, es común representarlos heurísticamente de esta manera. Representado a la derecha es un conjunto de estados con números cuánticos, y para los cinco conos de abajo hacia arriba. Desde, los vectores se muestran todos con longitud . Los anillos representan el hecho de que se conoce con certeza, pero y son desconocidos; por lo tanto, se dibuja cada vector clásico con la longitud y el componente z apropiados, formando un cono. El valor esperado del momento angular para un conjunto dado de sistemas en el estado cuántico caracterizado por y podría estar en algún lugar de este cono mientras que no se puede definir para un solo sistema (ya que los componentes de no viajen entre sí).
Cuantización en sistemas macroscópicos
Se cree ampliamente que las reglas de cuantificación son ciertas incluso para sistemas macroscópicos, como el momento angular L de un neumático que gira. Sin embargo, no tienen ningún efecto observable, por lo que no se ha probado. Por ejemplo, si es aproximadamente 100000000, esencialmente no hay diferencia si el valor exacto es un número entero como 100000000 o 100000001, o un número no entero como 100000000.2; los pasos discretos son actualmente demasiado pequeños para medirlos.
Momento angular como generador de rotaciones
La definición más general y fundamental de momento angular es como generador de rotaciones. [5] Más específicamente, dejeser un operador de rotación , que gira cualquier estado cuántico sobre el eje por angulo . Como, el operador se acerca al operador de identidad , porque una rotación de 0 ° asigna todos los estados a sí mismos. Entonces el operador de momento angular sobre el eje se define como: [5]
donde 1 es el operador de identidad . También observe que R es un morfismo aditivo: ; como consecuencia [5]
donde exp es la matriz exponencial .
En términos más simples, el operador de momento angular total caracteriza cómo cambia un sistema cuántico cuando se gira. La relación entre los operadores de momento angular y los operadores de rotación es la misma que la relación entre las álgebras de Lie y los grupos de Lie en matemáticas, como se analiza más adelante.
Así como J es el generador de operadores de rotación , L y S son generadores de operadores de rotación parcial modificados. El operador
rota la posición (en el espacio) de todas las partículas y campos, sin rotar el estado interno (espín) de ninguna partícula. Asimismo, el operador
rota el estado interno (espín) de todas las partículas, sin mover partículas o campos en el espacio. La relación J = L + S proviene de:
es decir, si se rotan las posiciones y luego se rotan los estados internos, entonces se ha rotado todo el sistema.
SU (2), SO (3) y rotaciones de 360 °
Aunque uno podría esperar (una rotación de 360 ° es el operador de identidad), esto no se supone en la mecánica cuántica, y resulta que a menudo no es cierto: cuando el número cuántico de momento angular total es medio entero (1/2, 3/2 , etc.),, y cuando es un número entero, . [5] Matemáticamente, la estructura de rotaciones en el universo no es SO (3) , el grupo de rotaciones tridimensionales en la mecánica clásica. En cambio, es SU (2) , que es idéntico a SO (3) para pequeñas rotaciones, pero donde una rotación de 360 ° se distingue matemáticamente de una rotación de 0 °. (Sin embargo, una rotación de 720 ° es lo mismo que una rotación de 0 °). [5]
Por otro lado, en todas las circunstancias, porque una rotación de 360 ° de una configuración espacial es lo mismo que ninguna rotación. (Esto es diferente de una rotación de 360 ° del estado interno (de giro) de la partícula, que podría o no ser lo mismo que ninguna rotación). En otras palabras, ellos operadores llevan la estructura de SO (3) , mientras que y llevar la estructura de SU (2) .
De la ecuación , uno elige un estado propio y dibuja
lo que quiere decir que los números cuánticos del momento angular orbital solo pueden ser enteros, no medios enteros.
Conexión con la teoría de la representación
Comenzando con un cierto estado cuántico , considere el conjunto de estados por todo lo posible y , es decir, el conjunto de estados que surgen de rotar el estado inicial de todas las formas posibles. El lapso lineal de ese conjunto es un espacio vectorial y, por lo tanto, la forma en que los operadores de rotación asignan un estado a otro es una representación del grupo de operadores de rotación.
- Cuando los operadores de rotación actúan sobre estados cuánticos, se forma una representación del grupo de Lie SU (2) (para R y R internos ), o SO (3) (para R espacial ).
De la relación entre J y los operadores de rotación,
- Cuando los operadores de momento angular actúan sobre estados cuánticos, se forma una representación del álgebra de Lie. o .
(Las álgebras de Lie de SU (2) y SO (3) son idénticas).
La derivación del operador de escalera anterior es un método para clasificar las representaciones del álgebra de Lie SU (2).
Conexión a relaciones de conmutación
Las rotaciones clásicas no se conmutan entre sí: por ejemplo, girar 1 ° alrededor del eje x y luego 1 ° alrededor del eje y da una rotación general ligeramente diferente que girar 1 ° alrededor del eje y y luego 1 ° alrededor del eje x - eje. Al analizar cuidadosamente esta no conmutatividad, se pueden derivar las relaciones de conmutación de los operadores de momento angular. [5]
(Este mismo procedimiento de cálculo es una forma de responder a la pregunta matemática "¿Cuál es el álgebra de Lie de los grupos de Lie SO (3) o SU (2) ?")
Conservación del momento angular
El hamiltoniano H representa la energía y la dinámica del sistema. En una situación de simetría esférica, el hamiltoniano es invariante bajo rotaciones:
donde R es un operador de rotación . Como consecuencia,, y entonces debido a la relación entre J y R . Por el teorema de Ehrenfest , se deduce que J se conserva.
Para resumir, si H es invariante rotacionalmente (simétrico esféricamente), entonces el momento angular total J se conserva. Este es un ejemplo del teorema de Noether .
Si H es solo el hamiltoniano para una partícula, el momento angular total de esa partícula se conserva cuando la partícula está en un potencial central (es decir, cuando la función de energía potencial depende solo de). Alternativamente, H puede ser el hamiltoniano de todas las partículas y campos del universo, y entonces H siempre es invariante en rotación, ya que las leyes fundamentales de la física del universo son las mismas independientemente de la orientación. Esta es la base para decir que la conservación del momento angular es un principio general de la física.
Para una partícula sin espín, J = L , por lo que el momento angular orbital se conserva en las mismas circunstancias. Cuando el giro es distinto de cero, la interacción giro-órbita permite que el momento angular se transfiera de L a S o viceversa. Por tanto, L no se conserva por sí solo.
Acoplamiento de momento angular
A menudo, dos o más tipos de momento angular interactúan entre sí, de modo que el momento angular se puede transferir de uno a otro. Por ejemplo, en acoplamiento spin-órbita , el momento angular puede transferir entre L y S , pero sólo del total J = L + S se conserva. En otro ejemplo, en un átomo con dos electrones, cada uno tiene su propio momento angular J 1 y J 2 , pero solo se conserva el total J = J 1 + J 2 .
En estas situaciones, a menudo es útil conocer la relación entre, por un lado, estados donde todos tienen valores definidos, y por otro lado, estados donde todos tienen valores definidos, ya que los últimos cuatro suelen conservarse (constantes de movimiento). El procedimiento para ir y venir entre estas bases es utilizar coeficientes de Clebsch-Gordan .
Un resultado importante en este campo es que una relación entre los números cuánticos para :
- .
Para un átomo o molécula con J = L + S , el término símbolo da los números cuánticos asociados con los operadores.
Momento angular orbital en coordenadas esféricas
Los operadores de momento angular generalmente ocurren cuando se resuelve un problema con simetría esférica en coordenadas esféricas . El momento angular en la representación espacial es [17] [18]
En coordenadas esféricas, la parte angular del operador de Laplace se puede expresar mediante el momento angular. Esto conduce a la relación
Al resolver para encontrar estados propios del operador , obtenemos lo siguiente
dónde
son los armónicos esféricos . [19]
Ver también
- Vector de Runge-Lenz (utilizado para describir la forma y orientación de los cuerpos en órbita)
- Transformación de Holstein-Primakoff
- Mapa de Jordan ( modelo bosónico de momento angular de Schwinger [20] )
- Modelo vectorial del átomo
- Pseudovector de Pauli – Lubanski
- Diagramas de momento angular (mecánica cuántica)
- Base esférica
- Operador de tensor
- Magnetización orbital
- Momento angular orbital de electrones libres
- Momento angular orbital de la luz
Notas
- ^ En la derivación de Condon y Shortley en la que se basa la derivación actual, un conjunto de observables junto con y Forman un conjunto completo de observables de conmutación. Además, requirieron que viaja con y . [12] La derivación actual se simplifica al no incluir el conjunto o su correspondiente conjunto de valores propios .
Referencias
- ^ Mecánica cuántica introductoria, Richard L. Liboff , 2da edición, ISBN 0-201-54715-5
- ^ Aruldhas, G. (1 de febrero de 2004). "fórmula (8.8)" . Mecánica cuántica . pag. 171. ISBN 978-81-203-1962-2.
- ^ Shankar, R. (1994). Principios de la mecánica cuántica (2ª ed.). Nueva York: Kluwer Academic / Plenum. pag. 319 . ISBN 9780306447907.
- ^ H. Goldstein, CP Poole y J. Safko, Mecánica clásica, 3ª edición , Addison-Wesley 2002, págs. 388 y siguientes.
- ^ a b c d e f g Littlejohn, Robert (2011). "Apuntes de conferencias sobre rotaciones en mecánica cuántica" (PDF) . Physics 221B Primavera de 2011 . Consultado el 13 de enero de 2012 .
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- ^ Condon, UE ; Shortley, GH (1935). "Capítulo III: Momento angular" . Teoría cuántica de los espectros atómicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521092098.
- ^ Introducción a la mecánica cuántica: con aplicaciones a la química , por Linus Pauling, Edgar Bright Wilson, página 45, enlace de libros de Google
- ^ Griffiths, David J. (1995). Introducción a la Mecánica Cuántica . Prentice Hall . pp. 147 -149.
- ↑ a b Condon y Shortley , 1935 , p. 46–47
- ^ Condon y Shortley 1935 , págs. 50–51
- ^ Condon y Shortley , 1935 , p. 50, ecuación 1
- ^ Condon y Shortley , 1935 , p. 50, ecuación 3
- ^ Condon y Shortley , 1935 , p. 51
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- ^ Comparación y contraste con el contragredient clásica L .
- ^ Sakurai, JJ & Napolitano, J (2010), Mecánica cuántica moderna (segunda edición) (Pearson) ISBN 978-0805382914
- ^ Schwinger, Julian (1952). Sobre el momento angular (PDF) . Comisión de Energía Atómica de EE. UU.
Otras lecturas
- Mecánica cuántica desmitificada , D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN 0-07-145546 9
- Mecánica cuántica , E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Easy Outlines Crash Course, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN 007-145533-7ISBN 978-007-145533-6
- Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2da edición) , R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
- Mecánica cuántica , E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
- Física de átomos y moléculas , BH Bransden, CJJoachain, Longman, 1983, ISBN 0-582-44401-2
- Momento angular. Comprensión de los aspectos espaciales en química y física , RN Zare, Wiley-Interscience, 1991, ISBN 978-0-47-1858928