En matemáticas, se dice que una forma cuadrática sobre un campo F es isótropa si hay un vector distinto de cero en el que la forma se evalúa como cero. De lo contrario, la forma cuadrática es anisotrópica . Más precisamente, si q es una forma cuadrática en un espacio vectorial V sobre F , entonces se dice que un vector v distinto de cero en V es isótropo si q ( v ) = 0 . Una forma cuadrática es isotrópica si y solo si existe un vector isotrópico distinto de cero (o vector nulo ) para esa forma cuadrática.
Suponga que ( V , q ) es un espacio cuadrático y W es un subespacio . Entonces W se denomina subespacio isotrópico de V si algún vector en él es isótropo, un subespacio totalmente isótropo si todos los vectores son isótropos y un subespacio anisótropo si no contiene ningún vector isótropo (distinto de cero). ElEl índice de isotropía de un espacio cuadrático es el máximo de las dimensiones de los subespacios totalmente isotrópicos. [1]
Una forma cuadrática q en un espacio vectorial real de dimensión finita V es anisotrópica si y solo si q es una forma definida :
Más en general, si la forma cuadrática es no degenerado y tiene la firma ( un , b ) , entonces su índice de isotropía es el mínimo de una y b . Un ejemplo importante de una forma isotrópica sobre los reales ocurre en el espacio pseudo-euclidiano .
Sea F un campo de característica no 2 y V = F 2 . Si consideramos el elemento general ( x , y ) de V , entonces las formas cuadráticas q = xy y r = x 2 - y 2 son equivalentes ya que hay una transformación lineal en V que hace que q parezca r , y viceversa. Evidentemente, ( V , q ) y (V , r ) son isotrópicos. Este ejemplo se llama plano hiperbólico en la teoría de formas cuadráticas . Una instancia común tiene F = números reales, en cuyo caso { x ∈ V : q ( x ) = constante distinta de cero} y { x ∈ V : r ( x ) = constante distinta de cero} son hipérbolas . En particular, { x ∈ V : r ( x ) = 1}es la unidad hipérbola . Milnor y Husemoller [1] : 9 han utilizado la notación ⟨1⟩ ⊕ ⟨− 1⟩ para el plano hiperbólico a medida que se muestran los signos de los términos del polinomio bivariado r .
El plano hiperbólico afín fue descrito por Emil Artin como un espacio cuadrático con base { M , N } que satisface M 2 = N 2 = 0, NM = 1 , donde los productos representan la forma cuadrática. [2]