En geometría , la hipérbola unitaria es el conjunto de puntos ( x, y ) en el plano cartesiano que satisfacen la ecuación implícita En el estudio de grupos ortogonales indefinidos , la hipérbola unitaria forma la base para una longitud radial alternativa
Mientras que el círculo unitario rodea su centro, la hipérbola unitaria requiere la hipérbola conjugada para complementarlo en el avión. Este par de hipérbolas comparten las asíntotas y = x y y = - x . Cuando se usa el conjugado de la hipérbola unitaria, la longitud radial alternativa es
La hipérbola unitaria es un caso especial de hipérbola rectangular , con una orientación , ubicación y escala particulares . Como tal, su excentricidad es igual a[1]
La hipérbola unitaria encuentra aplicaciones donde el círculo debe ser reemplazado por la hipérbola para propósitos de geometría analítica. Un ejemplo destacado es la descripción del espacio-tiempo como un espacio pseudo-euclidiano . Allí, las asíntotas de la hipérbola unitaria forman un cono de luz . Además, la atención a áreas de sectores hiperbólicos por Gregoire de Saint-Vincent llevó a la función de logaritmo y la parametrización moderna de la hipérbola por áreas de sector. Cuando se entienden las nociones de hipérbolas conjugadas y ángulos hiperbólicos, entonces los números complejos clásicos , que se construyen alrededor del círculo unitario, se pueden reemplazar con números construidos alrededor de la hipérbola unitaria.
Asíntotas
Se dice que las líneas generalmente asintóticas de una curva convergen hacia la curva. En geometría algebraica y la teoría de curvas algebraicas hay un enfoque diferente a las asíntotas. La curva se interpreta primero en el plano proyectivo utilizando coordenadas homogéneas . Entonces, las asíntotas son líneas que son tangentes a la curva proyectiva en un punto en el infinito , evitando así cualquier necesidad de un concepto de distancia y convergencia. En un marco común ( x, y, z ) son coordenadas homogéneas con la línea en el infinito determinada por la ecuación z = 0. Por ejemplo, CG Gibson escribió: [2]
- Para la hipérbola rectangular estándar en ℝ 2 , la curva proyectiva correspondiente es que se encuentra con z = 0 en los puntos P = (1: 1: 0) y Q = (1: −1: 0). Tanto P como Q son simples en F , con tangentes x + y = 0, x - y = 0; así recuperamos las conocidas "asíntotas" de la geometría elemental.
Diagrama de Minkowski
El diagrama de Minkowski se dibuja en un plano espaciotemporal donde el aspecto espacial se ha restringido a una sola dimensión. Las unidades de distancia y tiempo en tal plano son
- unidades de 30 centímetros de longitud y nanosegundos , o
- unidades astronómicas e intervalos de 8 minutos y 20 segundos, o
- años luz y años .
Cada una de estas escalas de coordenadas da como resultado conexiones de fotones de eventos a lo largo de líneas diagonales de pendiente más o menos uno. Cinco elementos constituyen el diagrama que utilizó Hermann Minkowski para describir las transformaciones de la relatividad: la hipérbola unitaria, su hipérbola conjugada, los ejes de la hipérbola, un diámetro de la hipérbola unitaria y el diámetro conjugado . El plano con los ejes se refiere a un marco de referencia en reposo . El diámetro de la hipérbola unitaria representa un marco de referencia en movimiento con rapidez a donde tanh a = y / x y ( x , y ) es el punto final del diámetro en la hipérbola unitaria. El diámetro conjugado representa el hiperplano espacial de simultaneidad correspondiente a la rapidez a . En este contexto, la hipérbola unitaria es una hipérbola de calibración [3] [4] Comúnmente en el estudio de la relatividad, la hipérbola con eje vertical se toma como primaria:
- La flecha del tiempo va de abajo hacia arriba de la figura, una convención adoptada por Richard Feynman en sus famosos diagramas. El espacio está representado por planos perpendiculares al eje del tiempo. El aquí y ahora es una singularidad en el medio. [5]
La convención del eje de tiempo vertical proviene de Minkowski en 1908, y también se ilustra en la página 48 de La naturaleza del mundo físico de Eddington (1928).
Parametrización
Una forma directa de parametrizar la hipérbola unitaria comienza con la hipérbola xy = 1 parametrizada con la función exponencial :
Esta hipérbola se transforma en la hipérbola unitaria mediante un mapeo lineal que tiene la matriz
Este parámetro t es el ángulo hiperbólico , que es el argumento de las funciones hiperbólicas .
Se encuentra una expresión temprana de la hipérbola unitaria parametrizada en Elements of Dynamic (1878) de WK Clifford . Describe el movimiento cuasi-armónico en una hipérbola de la siguiente manera:
- El movimiento tiene algunas analogías curiosas con el movimiento armónico elíptico. ... La aceleración por lo tanto, siempre es proporcional a la distancia desde el centro, como en el movimiento armónico elíptico, pero dirigido lejos del centro. [6]
Como cónica particular , la hipérbola se puede parametrizar mediante el proceso de adición de puntos en una cónica. Los analistas rusos dieron la siguiente descripción:
- Fije un punto E en la cónica. Tenga en cuenta los puntos en los que la línea recta trazada a través de E paralelo a AB intersecta la cónica una segunda vez para ser la suma de los puntos A y B .
- Por la hipérbola con el punto fijo E = (1,0) la suma de los puntos y es el punto bajo la parametrización y esta adición corresponde a la adición del parámetro t . [7]
Álgebra de planos complejos
Mientras que el círculo unitario está asociado con números complejos , la hipérbola unitaria es clave para el plano de números complejos divididos que consta de z = x + yj , donde j 2 = +1. Entonces jz = y + xj , entonces la acción de j en el plano es intercambiar las coordenadas. En particular, esta acción intercambia la hipérbola unitaria con su conjugado e intercambia pares de diámetros conjugados de las hipérbolas.
En términos del parámetro de ángulo hiperbólico a , la hipérbola unitaria consta de puntos
- , donde j = (0,1).
La rama derecha de la hipérbola unitaria corresponde al coeficiente positivo. De hecho, esta rama es la imagen del mapa exponencial que actúa sobre el eje j . Desde
- ,
la rama es un grupo bajo multiplicación. A diferencia del grupo circular , este grupo de hipérbola unitaria no es compacto . Similar al plano complejo ordinario, un punto que no está en las diagonales tiene una descomposición polar usando la parametrización de la hipérbola unitaria y la longitud radial alternativa.
Referencias
- ^ Eric Weisstein Hipérbola rectangular de Wolfram Mathworld
- ^ CG Gibson (1998) Geometría elemental de curvas algebraicas , p 159, Cambridge University Press ISBN 0-521-64140-3
- ^ Anthony French (1968) Relatividad especial , página 83, WW Norton & Company
- ^ WGV Rosser (1964) Introducción a la teoría de la relatividad , figura 6.4, página 256, Londres: Butterworths
- ^ AP francés (1989) "Aprendiendo del pasado; Mirando hacia el futuro", discurso de aceptación de la Medalla Oersted de 1989, American Journal of Physics 57 (7): 587-92
- ^ William Kingdon Clifford (1878) Elements of Dynamic , páginas 89 y 90, Londres: MacMillan & Co; presentación en línea de monografías históricas matemáticas de la Universidad de Cornell
- ^ Viktor Prasolov y Yuri Solovyev (1997) Funciones elípticas e integrales elípticas , página uno, Traducciones de monografías matemáticas volumen 170, Sociedad matemática estadounidense
- F. Reese Harvey (1990) Spinors y calibraciones , Figura 4.33, página 70, Academic Press , ISBN 0-12-329650-1 .