La hormiga en una cuerda de goma es un acertijo matemático con una solución que parece contradictoria o paradójica. A veces se da como un gusano, o un gusano de pulgada, en una goma o banda elástica, pero los principios del rompecabezas siguen siendo los mismos.
Los detalles del rompecabezas pueden variar, [1] [2] pero una forma típica es la siguiente:
- Una hormiga comienza a arrastrarse a lo largo de una cuerda de goma tensa de 1 km de largo a una velocidad de 1 cm por segundo (en relación con la goma sobre la que se arrastra). Al mismo tiempo, la cuerda comienza a estirarse uniformemente a una velocidad constante de 1 km por segundo, de modo que después de 1 segundo tiene 2 km de largo, después de 2 segundos tiene 3 km de largo, etc. ¿Llegará alguna vez la hormiga al final? de la cuerda?
A primera vista, parece que la hormiga nunca llegará al final de la cuerda, pero de hecho lo hace. (En la forma indicada anteriormente, se necesitaría8,9 × 10 43 421 años.) Cualquiera que sea la longitud de la cuerda y las velocidades relativas de la hormiga y el estiramiento, siempre que la velocidad de la hormiga y el estiramiento permanezcan constantes, la hormiga siempre podrá llegar al final con el tiempo suficiente. Una vez que la hormiga ha comenzado a moverse, la cuerda de goma se estira tanto por delante como por detrás de la hormiga, conservando la proporción de cuerda que ya ha caminado la hormiga y permitiendo que la hormiga avance continuamente.
Una declaración formal del problema.
El problema, como se indicó anteriormente, requiere que se hagan algunas suposiciones. El siguiente enunciado más completo del problema intenta hacer explícitos la mayoría de esos supuestos. Los enunciados informales como el que se da en la introducción de este artículo se obtienen simplificando el siguiente enunciado y asignando valores a las variables y .
- Considere una cuerda de goma fina e infinitamente estirable mantenida tensa a lo largo de un -eje con un punto de partida marcado en y un punto de destino marcado en , con .
- En el momento la cuerda comienza a estirarse uniforme y suavemente de tal manera que el punto de partida permanece estacionario en mientras el punto de destino se aleja del punto de partida con velocidad constante .
- Una pequeña hormiga sale del punto de partida en el momento y camina de manera constante y suave a lo largo de la cuerda hacia el punto objetivo a una velocidad constante relativo al punto de la cuerda donde está la hormiga en cada momento.
- ¿Llegará la hormiga al punto objetivo?
Soluciones del problema
Una solución matemática discreta
Aunque la solución del problema parece requerir técnicas analíticas, en realidad se puede responder mediante un argumento combinatorio al considerar una variación en la que la cuerda se estira repentina e instantáneamente cada segundo en lugar de estirarse continuamente. De hecho, el problema a veces se plantea en estos términos, y el siguiente argumento es una generalización de uno establecido por Martin Gardner , originalmente en Scientific American y posteriormente reimpreso. [1]
Considere una variación en la que la cuerda se estira repentina e instantáneamente antes de cada segundo, de modo que el punto objetivo se mueve de a en el momento , y de a en el momento , etc. Muchas versiones del problema tienen la cuerda estirada al final de cada segundo, pero al hacer que la cuerda se estire antes de cada segundo hemos puesto en desventaja a la hormiga en su objetivo, por lo que podemos estar seguros de que si la hormiga puede alcanzar punto en esta variación entonces ciertamente puede ser en el problema original, o incluso en variantes donde la cuerda se estira al final de cada segundo.
Dejar será la proporción de la distancia desde el punto de partida hasta el punto de destino que la hormiga ha recorrido en el tiempo t . Entonces. En el primer segundo la hormiga recorre la distancia, cual es de la distancia desde el punto de partida al punto de destino (que es durante el primer segundo). Cuando la cuerda se estira repentina e instantáneamente,permanece sin cambios, porque la hormiga se mueve junto con la goma donde está en ese momento. Entonces. En el siguiente segundo, la hormiga recorre la distancia de nuevo, que es de la distancia desde el punto de partida al punto de destino (que es durante ese segundo). Entonces. Del mismo modo, para cualquier, .
Tenga en cuenta que para cualquier , , para que podamos escribir
- .
El termino es una serie armónica parcial , que diverge , por lo que podemos encontrar tal que , Lo que significa que .
Por lo tanto, si se le da el tiempo suficiente, la hormiga completará el viaje hasta el punto objetivo. Esta solución podría usarse para obtener un límite superior para el tiempo requerido, pero no da una respuesta exacta sobre el tiempo que tomará.
Una solución analítica
Una observación clave es que la velocidad de la hormiga en un momento dado es su velocidad relativa a la cuerda, es decir , más la velocidad de la cuerda en el punto donde está la hormiga. El objetivo se mueve con rapidez, entonces a la vez es en . Otros puntos a lo largo de la cuerda se mueven con velocidad proporcional, por lo que en el momento el punto de la cuerda en se mueve con velocidad . Entonces, si escribimos la posición de la hormiga en el momento como , y la velocidad de la hormiga en el momento como , podemos escribir:
Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden y se puede resolver con métodos estándar. Sin embargo, para hacerlo se requieren algunos cálculos moderadamente avanzados. Un enfoque mucho más simple considera la posición de la hormiga como una proporción de la distancia desde el punto de partida al punto de destino. [2]
Considere las coordenadas medido a lo largo de la cuerda con el punto de partida en y el punto de destino en . En estas coordenadas, todos los puntos de la cuerda permanecen en una posición fija (en términos de) a medida que la cuerda se estira. En el momento, un punto en Me senté , y una velocidad de relativo a la cuerda en términos de , es equivalente a una velocidad en términos de . Entonces, si escribimos la posición de la hormiga en términos de en el momento como , y la velocidad de la hormiga en términos de en el momento como , podemos escribir:
- dónde es una constante de integración.
Ahora, lo que da , entonces .
Si la hormiga alcanza el punto objetivo (que está en ) en el momento , Debemos tener que nos da:
(Para el caso simple de v = 0, podemos considerar el límite y obtén la solución simple ) Como esto da un valor finito para todo finito , , (, ), esto significa que, con tiempo suficiente, la hormiga completará el viaje hasta el punto objetivo. Esta fórmula se puede utilizar para averiguar cuánto tiempo se requiere.
Para el problema como se dijo originalmente, , y , lo que da . Este es un vasto lapso de tiempo, incluso comparado con la edad estimada del universo , que es solo aproximadamente4 × 10 17 s . Además, la longitud de la cuerda después de ese tiempo es igualmente enorme, 2,8 × 10 43 429 km, por lo que es solo en un sentido matemático que la hormiga puede llegar al final de esta cuerda en particular.
Intuición
Independientemente de la velocidad del punto final de la cuerda, siempre podemos hacer marcas en la cuerda de modo que la velocidad relativa de dos marcas adyacentes sea arbitrariamente lenta. Si la cuerda inicialmente tiene 1 km de largo y se estira 1 km por segundo, podemos hacer marcas que inicialmente estén separadas 5 mm a lo largo de toda la cuerda. La velocidad relativa de dos marcas cualesquiera es entonces de 5 mm por segundo. Es obvio que una hormiga que se arrastra a 1 cm por segundo siempre puede pasar de una marca a la siguiente, y luego a la siguiente y así sucesivamente, hasta que finalmente llega al final de la cuerda. El mismo razonamiento funciona para cualquier velocidad de estiramiento constante, velocidad de hormiga y longitud de cuerda.
El hecho clave es que la hormiga se mueve junto con las puntas de la cuerda cuando la cuerda se estira. En cualquier momento dado podemos encontrar la proporción de la distancia desde el punto de partida hasta el punto de destino que ha recorrido la hormiga. Incluso si la hormiga se detiene y la cuerda continúa estirándose, esta proporción no disminuirá y de hecho permanecerá constante mientras la hormiga viaja junto con el punto de la cuerda donde la hormiga se detuvo (porque la cuerda se estira uniformemente). Por lo tanto, si la hormiga avanza, esta proporción solo aumentará.
Ver también
Referencias
- ↑ a b Gardner, Martin (1982). ¡Ajá! Gotcha: paradojas para desconcertar y deleitar . WH Freeman and Company. págs. 145-146 . ISBN 0-7167-1361-6.
- ^ a b Graeme (1 de octubre de 2002). "La caminata larga" . El sitio del problema . Archivado desde el original el 24 de abril de 2008 . Consultado el 6 de abril de 2008 .