En matemáticas , las frases arbitrariamente grande , arbitrariamente pequeño y arbitrariamente larga se utilizan en declaraciones para aclarar el hecho de que un objeto es grande, pequeño y largo con poca limitación o restricción, respectivamente. [1] El uso de "arbitrariamente" a menudo ocurre en el contexto de números reales (y sus subconjuntos ), aunque su significado puede diferir del de "suficientemente" e "infinitamente".
Ejemplos de
La declaración
- " no es negativo para arbitrariamente grande . "
es una abreviatura de:
- "Por cada número real , no es negativo para algún valor de mas grande que . "
En el lenguaje común, el término "arbitrariamente largo" se usa a menudo en el contexto de la secuencia de números. Por ejemplo, decir que hay " progresiones aritméticas de números primos arbitrariamente largas " no significa que exista una progresión aritmética infinitamente larga de números primos (no la hay), ni que exista una progresión aritmética particular de números primos que sea en cierto sentido, "arbitrariamente largo". Más bien, la frase se usa para referirse al hecho de que no importa cuán grande sea el número es decir, existe alguna progresión aritmética de números primos de longitud al menos . [2]
Similar a arbitrariamente grande, también se puede definir la frase "es válido para números reales arbitrariamente pequeños ", como sigue: [3]
En otras palabras:
- Por pequeño que sea el número, habrá un número más pequeño que él de modo que sostiene.
Arbitrariamente grande frente a suficientemente grande frente a infinitamente grande
Aunque similar, "arbitrariamente grande" no equivale a " suficientemente grande ". Por ejemplo, si bien es cierto que los números primos pueden ser arbitrariamente grandes (ya que hay infinitos de ellos debido al teorema de Euclides ), no es cierto que todos los números suficientemente grandes sean primos.
Como otro ejemplo, la declaración " no es negativo para arbitrariamente grande . "podría reescribirse como:
Sin embargo, al usar " suficientemente grande ", la misma frase se convierte en:
Además, "arbitrariamente grande" tampoco significa " infinitamente grande ". [1] Por ejemplo, aunque los números primos pueden ser arbitrariamente grandes, no existe un número primo infinitamente grande, ya que todos los números primos (así como todos los demás enteros) son finitos.
En algunos casos, frases como "la proposición es cierto para arbitrariamente grande "se utilizan principalmente para enfatizar, como en" es cierto para todos , no importa que tan grande es. "En estos casos, la frase" arbitrariamente grande "no tiene el significado indicado anteriormente (es decir," por grande que sea el número, habrá un número mayor para el cualtodavía se mantiene " [4] ). En cambio, el uso en este caso es, de hecho, lógicamente sinónimo de" todos ".
Ver también
Referencias
- ^ a b "El glosario definitivo de jerga matemática superior - arbitrariamente" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 19 de noviembre de 2019 .
- ^ 4 Datos arbitrariamente grandes. Archivado el 22 de febrero de 2012 en Wayback Machine. Consultado el 21 de febrero de 2012.
- ^ "Definición: arbitrariamente pequeño - ProofWiki" . proofwiki.org . Consultado el 19 de noviembre de 2019 .
- ^ "Definición: arbitrariamente grande - ProofWiki" . proofwiki.org . Consultado el 19 de noviembre de 2019 .