Teoría de Arakelov

En matemáticas , la teoría de Arakelov (o geometría de Arakelov ) es un enfoque de la geometría diofántica , llamada así por Suren Arakelov . Se utiliza para estudiar ecuaciones diofánticas en dimensiones superiores.

La principal motivación detrás de la geometría de Arakelov es el hecho de que existe una correspondencia entre los ideales primos y los lugares finitos , pero también existe un lugar en el infinito , dado por la valoración de Arquímedes , que no tiene un ideal primo correspondiente. La geometría de Arakelov proporciona una técnica para compactar en un espacio completo ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ in {\ text {Spec}} (\ mathbb {Z})}$ ${\ Displaystyle v_ {p}: \ mathbb {Q} ^ {*} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle v _ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle {\ text {Spec}} (\ mathbb {Z})}$

${\ Displaystyle {\ overline {{\ text {Spec}} (\ mathbb {Z})}}}$

que tiene un primo que se encuentra en el infinito. La construcción original de Arakelov estudia una de esas teorías donde una definición de divisores es un constructor para un esquema de dimensión relativa 1 sobre tal que se extiende a una superficie de Riemann para cada valoración en el infinito. Además, equipa estas superficies de Riemann con métricas hermitianas en paquetes de vectores holomórficos sobre X ( C ), los puntos complejos de . Esta estructura hermitiana adicional se aplica como sustituto del fracaso del esquema Spec ( Z ) para ser una variedad completa . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {X}}}$ ${\ Displaystyle {\ text {Spec}} ({\ mathcal {O}} _ {K})}$ ${\ Displaystyle X _ {\ infty} = {\ mathfrak {X}} (\ mathbb {C})}$ $X$

Tenga en cuenta que existen otras técnicas para construir un espacio completo que se extiende , que es la base de la geometría F ₁ . ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$