En matemáticas , un conjunto de vectores holomórficos es un conjunto de vectores complejos sobre una variedad compleja X, de modo que el espacio total E es una variedad compleja y el mapa de proyección π: E → X es holomórfico . Los ejemplos fundamentales son el haz tangente holomórfico de una variedad compleja, y su dual, el haz cotangente holomórfico . Un paquete de líneas holomórficas es un paquete de vectores holomórficos de rango uno.
Por de Serre GAGA , la categoría de paquetes del vector holomorfas en un suave compleja variedad proyectiva X (visto como un colector de complejo) es equivalente a la categoría de paquetes del vector algebraicas (es decir, roldanas localmente libres de rango finito) en X .
Definición a través de la banalización
Específicamente, se requiere que los mapas de trivialización
son mapas biholomorfos . Esto es equivalente a requerir que las funciones de transición
son mapas holomorfos. La estructura holomórfica en el haz tangente de una variedad compleja está garantizada por la observación de que la derivada (en el sentido apropiado) de una función holomórfica con valores vectoriales es en sí misma holomórfica.
La gavilla de secciones holomorfas
Sea E un paquete de vectores holomórficos. Una sección local s : U → E | Se dice que U es holomórfico si, en una vecindad de cada punto de U , es holomórfico en alguna (equivalentemente cualquier) trivialización.
Esta condición es local, lo que significa que las secciones holomorfas forman una gavilla en X . Esta gavilla a veces se denotaUna gavilla de este tipo siempre está localmente libre del mismo rango que el rango del paquete de vectores. Si E es el paquete de línea trivialentonces esta gavilla coincide con la gavilla de estructura del complejo colector X .
Ejemplos básicos
Hay paquetes de líneas encima cuyas secciones globales corresponden a polinomios homogéneos de grado (por un entero positivo). En particular,corresponde al paquete de línea trivial. Si tomamos la cubierta entonces podemos encontrar gráficos definido por
Podemos construir funciones de transición definido por
Ahora, si consideramos el paquete trivial podemos formar funciones de transición inducidas . Si usamos la coordenada en la fibra, entonces podemos formar funciones de transición
para cualquier entero . Cada uno de estos está asociado con un paquete de líneas. Dado que los paquetes de vectores necesariamente retroceden, cualquier subvariedad holomórfica tiene un paquete de líneas asociado , a veces denotado .
Operadores Dolbeault
Suponga que E es un conjunto de vectores holomórficos. Entonces hay un operador distinguidodefinido como sigue. En una banalización localde E , con marco local, se puede escribir cualquier sección para algunas funciones suaves . Definir un operador localmente por
dónde es el operador regular de Cauchy-Riemann de la variedad base. Este operador está bien definido en todo E porque en una superposición de dos trivializaciones con función de transición holomorfa , Si dónde es un marco local para E en, luego , y entonces
porque las funciones de transición son holomorfas. Esto conduce a la siguiente definición: un operador Dolbeault en un paquete de vectores complejos suaves es un -operador lineal
tal que
- (Condición de Cauchy-Riemann) ,
- (Regla de Leibniz) Para cualquier sección y función en , uno tiene
- .
Mediante la aplicación del teorema de Newlander-Nirenberg , se obtiene un recíproco a la construcción del operador Dolbeault de un paquete holomórfico: [1]
Teorema: dado un operador Dolbeault en un paquete de vector complejo suave , hay una estructura holomórfica única en tal que es el operador Dolbeault asociado como se construyó arriba.
Con respecto a la estructura holomórfica inducida por un operador Dolbeault , una sección lisa es holomórfico si y solo si . Esto es similar moralmente a la definición de una variedad suave o compleja como un espacio anillado . Es decir, es suficiente especificar qué funciones en una variedad topológica son suaves o complejas, para imbuirla de una estructura suave o compleja.
El operador Dolbeault tiene inverso local en términos de operador de homotopía . [2]
Las gavillas de formas con valores en un paquete de vectores holomórficos
Si denota el fajo de C ∞ formas diferenciales de tipo ( p , q ) , entonces el fajo de tipo ( p , q ) formas con valores de E se pueden definir como el producto tensorial
Estas gavillas están bien , lo que significa que admiten particiones de unidad . Una distinción fundamental entre los paquetes de vectores suaves y holomórficos es que en este último, hay un operador diferencial canónico, dado por el operador Dolbeault definido anteriormente:
Cohomología de paquetes de vectores holomórficos
Si E es un paquete de vectores holomórficos, la cohomología de E se define como la cohomología de gavilla de. En particular, tenemos
el espacio de secciones holomorfas globales de E . Tambien tenemos esoparametriza el grupo de extensiones del haz de líneas triviales de X por E , es decir, secuencias exactas de haces de vectores holomórficos 0 → E → F → X × C → 0 . Para la estructura del grupo, consulte también la suma de Baer y la extensión de la gavilla .
Según el teorema de Dolbeault , esta cohomología de gavilla se puede describir alternativamente como la cohomología del complejo de cadenas definido por las gavillas de formas con valores en el paquete holomórfico.. Es decir, tenemos
El grupo Picard
En el contexto de la geometría diferencial compleja, el grupo de Picard Pic ( X ) de la variedad compleja X es el grupo de clases de isomorfismo de haces de líneas holomórficas con ley de grupo dada por el producto tensorial y la inversión dada por la dualización. Se puede definir de forma equivalente como el primer grupo de cohomología. del haz de funciones holomórficas que no desaparecen.
Métricas hermitianas en un paquete de vectores holomórficos
Sea E un conjunto de vectores holomórficos en una variedad compleja M y suponga que hay una métrica hermitiana en E ; es decir, las fibras E x están equipadas con productos internos <·, ·> que varían suavemente. Entonces existe una conexión única ∇ en E que es compatible tanto con la estructura compleja como con la estructura métrica, llamada conexión de Chern ; es decir, ∇ es una conexión tal que
- (1) Para cualquier suavizar secciones s de E , donde π 0,1 toma el (0, 1) componente z de un E -valued 1-forma .
- (2) Para cualquier sección suave s , t de E y un campo vectorial X en M ,
- donde escribimos para la contracción de por X . (Esto equivale a decir que el transporte paralelo por ∇ conserva la métrica <·, ·>.)
De hecho, si u = ( e 1 ,…, e n ) es un marco holomórfico, entonces seay define ω u por la ecuación, que escribimos de manera más simple como:
Si u '= ug es otro marco con un cambio holomórfico de base g , entonces
y entonces ω es de hecho una forma de conexión , dando lugar a ∇ por ∇ s = ds + ω · s . Ahora, desde,
Es decir, ∇ es compatible con la estructura métrica. Finalmente, dado que ω es una forma (1, 0), el componente (0, 1) de es .
Dejar ser la forma de curvatura de ∇. Desdecuadrados a cero según la definición de un operador Dolbeault, Ω no tiene ningún componente (0, 2) y, dado que se muestra fácilmente que Ω es oblicuo-hermitiano, [3] tampoco tiene ningún componente (2, 0). En consecuencia, Ω es una forma (1, 1) dada por
La curvatura Ω aparece de forma destacada en los teoremas de desaparición de la cohomología superior de los haces de vectores holomórficos; por ejemplo, el teorema de fuga de Kodaira y teorema de fuga de Nakano .
Notas
- ^ Kobayashi, S. (2014). Geometría diferencial de paquetes de vectores complejos (Vol. 793). Prensa de la Universidad de Princeton.
- ↑ Kycia, Radosław Antoni. "El lema de Poincaré, formas antiexactas y oscilador armónico cuántico fermiónico" . Resultados en Matemáticas . 75 (3): 122. doi : 10.1007 / s00025-020-01247-8 . ISSN 1422-6383 .
- ^ Por ejemplo, la existencia de una métrica hermitiana en E significa que el grupo de estructura del haz de marcos se puede reducir al grupo unitario y Ω tiene valores en el álgebra de Lie de este grupo unitario, que consiste en métricas sesgadas-hermitianas.
Referencias
- Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
- "Vector bundle, analytic" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Ver también
- Teorema de Birkhoff-Grothendieck
- Métrica de Quillen
- Dualidad serre
enlaces externos
- Principio de división para paquetes de vectores holomórficos