Secuencia aritmético-geométrica

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En matemáticas , la secuencia aritmético-geométrica es el resultado de la multiplicación término por término de una progresión geométrica con los términos correspondientes de una progresión aritmética . En pocas palabras, el término n de una secuencia aritmético-geométrica es el producto del término n de una secuencia aritmética y el término n de una geométrica. ^[1] Las secuencias aritmético-geométricas surgen en diversas aplicaciones, como el cálculo de valores esperados en la teoría de la probabilidad . Por ejemplo, la secuencia

es una secuencia aritmético-geométrica. El componente aritmético aparece en el numerador (en azul), y el geométrico en el denominador (en verde).

La suma de esta sucesión infinita se conoce como serie aritmético-geométrica , y su forma más básica se ha denominado escalera de Gabriel : ^{[2] [3] [4]}

La denominación también puede aplicarse a diferentes objetos que presenten características tanto de secuencias aritméticas como geométricas; por ejemplo, la noción francesa de secuencia aritmético-geométrica se refiere a secuencias de la forma , que generalizan tanto secuencias aritméticas como geométricas. Tales secuencias son un caso especial de ecuaciones en diferencias lineales .${\displaystyle u_{n+1}=au_{n}+b}$

Los primeros términos de una sucesión aritmético-geométrica compuesta por una progresión aritmética (en azul) con diferencia y valor inicial y una progresión geométrica (en verde) con valor inicial y razón común están dados por: ^[5]${\ estilo de visualización d}$${\ estilo de visualización a}$${\ estilo de visualización b}$${\ estilo de visualización r}$

se define por , y .${\ estilo de visualización d = b = 1}$${\ estilo de visualización a = 0}$${\displaystyle r={\frac{1}{2}}}$

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