Matriz de punta de flecha

En el campo matemático del álgebra lineal , una matriz de punta de flecha es una matriz cuadrada que contiene ceros en todas las entradas excepto en la primera fila, la primera columna y la diagonal principal; estas entradas pueden ser cualquier número. ^{[1] [2]} En otras palabras, la matriz tiene la forma

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\,\!*&*&*&*&*\\\,\!*&*&0&0&0\\\,\!*&0&*&0&0\\\,\!*&0&0&*&0\\\,\!*&0&0&0&*\end{bmatrix}}.}$

Cualquier permutación simétrica de la matriz de punta de flecha , donde P es una matriz de permutación , es una matriz de punta de flecha (permutada) . Las matrices de punta de flecha simétricas reales se utilizan en algunos algoritmos para encontrar valores propios y vectores propios . ^[3]${\displaystyle P^{T}AP}$

Matrices de punta de flecha simétricas reales

Sea A una matriz de punta de flecha simétrica (permutada) real de la forma

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{cc}D&z\\z^{T}&\alpha \end{array}}\right],}$

donde es la matriz diagonal de orden n-1 ,${\displaystyle D=\mathop {\mathrm {diag} } (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n-1})}$

${\displaystyle z={\begin{bmatrix}\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n-1}\end{bmatrix}}^{T}}$es un vector y es un escalar. Dejar${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle A=V\Lambda V^{T}}$

ser la descomposición del valor propio de A , donde ${\displaystyle \Lambda =\mathop {\mathrm {diag} } (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})}$

es una matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los valores propios de A , y${\displaystyle V={\begin{bmatrix}v_{1}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}}$

es una matriz ortonormal cuyas columnas son los vectores propios correspondientes . Lo siguiente es válido:

• Si por alguna i , entonces el par , donde es la i -ésima base estándar vector, es un eigenpair de A . Por lo tanto, todas esas filas y columnas se pueden eliminar, dejando la matriz con todo .${\displaystyle \zeta _{i}=0}$${\displaystyle (d_{i},e_{i})}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle \zeta _{i}\neq 0}$
• El teorema del entrelazado de Cauchy implica que los valores propios ordenados de A entrelazan los elementos ordenados : si (esto se puede lograr mediante la permutación simétrica de filas y columnas sin pérdida de generalidad), y si s se ordenan en consecuencia, entonces .${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle d_{1}\geq d_{2}\geq \cdots \geq d_{n-1}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \lambda _{1}\geq d_{1}\geq \lambda _{2}\geq d_{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n-1}\geq d_{n-1}\geq \lambda _{n}}$
• Si , por alguna , la desigualdad anterior implica que es un valor propio de A . El tamaño del problema se puede reducir aniquilando con una rotación Givens en el plano -y procediendo como se indicó anteriormente.${\displaystyle d_{i}=d_{j}}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle \zeta _{j}}$${\displaystyle (i,j)}$

Las matrices de punta de flecha simétricas surgen en descripciones de transiciones sin radiación en moléculas aisladas y osciladores acoplados vibratoriamente con un líquido de Fermi . ^[4]

Valores propios y vectores propios

Una matriz de punta de flecha simétrica es irreducible si para todo i y para todos . Los valores propios de una matriz de punta de flecha simétrica real irreducible son los ceros de la ecuación secular${\displaystyle \zeta _{i}\neq 0}$${\displaystyle d_{i}\neq d_{j}}$${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle f(\lambda )=\alpha -\lambda -\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\zeta _{i}^{2}}{d_{i}-\lambda }}\equiv \alpha -\lambda -z^{T}(D-\lambda I)^{-1}z=0}$

que puede calcularse, por ejemplo, mediante el método de bisección . Los vectores propios correspondientes son iguales a

${\displaystyle v_{i}={\frac {x_{i}}{\|x_{i}\|_{2}}},\quad x_{i}={\begin{bmatrix}\left(D-\lambda _{i}I\right)^{-1}z\\-1\end{bmatrix}},\quad i=1,\ldots ,n.}$

La aplicación directa de la fórmula anterior puede producir vectores propios que no son numéricamente suficientemente ortogonales. ^[1] El algoritmo estable hacia adelante que calcula cada valor propio y cada componente del vector propio correspondiente con una precisión casi total se describe en. ^[2] La versión Julia del software está disponible. ^[5]

Inversos

Sea A una matriz de punta de flecha simétrica real irreducible. Si para alguna i , la inversa es una matriz de punta de flecha simétrica real irreducible permutada:${\displaystyle d_{i}=0}$

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}D_{1}^{-1}&w_{1}&0&0\\w_{1}^{T}&b&w_{2}^{T}&1/\zeta _{i}\\0&w_{2}&D_{2}^{-1}&0\\0&1/\zeta _{i}&0&0\end{bmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}D_{1}&=\mathop {\mathrm {diag} } (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{i-1}),\\D_{2}&=\mathop {\mathrm {diag} } (d_{i+1},d_{i+2},\ldots ,d_{n-1}),\\z_{1}&={\begin{bmatrix}\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{i-1}\end{bmatrix}}^{T},\\z_{2}&={\begin{bmatrix}\zeta _{i+1}&\zeta _{i+2}&\cdots &\zeta _{n-1}\end{bmatrix}}^{T},\\w_{1}&=-D_{1}^{-1}z_{1}{\frac {1}{\zeta _{i}}},\\w_{2}&=-D_{2}^{-1}z_{2}{\frac {1}{\zeta _{i}}},\\b&={\frac {1}{\zeta _{i}^{2}}}\left(-a+z_{1}^{T}D_{1}^{-1}z_{1}+z_{2}^{T}D_{2}^{-1}z_{2}\right).\end{alignedat}}}$

Si para todo i , la inversa es una modificación de rango uno de una matriz diagonal ( matriz diagonal más rango uno o DPR1 ):${\displaystyle d_{i}\neq 0}$

${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}D^{-1}&\\&0\end{bmatrix}}+\rho uu^{T},}$

dónde

${\displaystyle u={\begin{bmatrix}D^{-1}z\\-1\end{bmatrix}},\quad \rho ={\frac {1}{\alpha -z^{T}D^{-1}z}}.}$

Referencias

1. O'Leary, DP ; Stewart, GW (1990). "Calcular los autovalores y autovectores de matrices de punta de flecha simétricas" . Revista de Física Computacional . 90 (2): 497–505. Código Bibliográfico : 1990JCoPh..90..497O . doi : 10.1016 / 0021-9991 (90) 90177-3 .
2. Jakovcevic Stor, Nevena; Slapnicar, Ivan; Barlow, Jesse L. (2015). "Descomposición precisa de valores propios de matrices de punta de flecha simétricas reales y aplicaciones". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 464 : 62–89. arXiv : 1302.7203 . doi : 10.1016 / j.laa.2013.10.007 .
3. Gu, Ming; Eisenstat, Stanley C. (1995). "Un algoritmo de divide y vencerás para el problema propio tridiagonal simétrico" . Revista SIAM sobre Análisis y Aplicaciones Matriciales . 16 : 172-191. doi : 10.1137 / S0895479892241287 .
4. O'Leary, DP; Stewart, GW (octubre de 1990). "Calcular los autovalores y autovectores de matrices de punta de flecha simétricas" (PDF) . Revista de Física Computacional . 90 (2): 497–505. Código Bibliográfico : 1990JCoPh..90..497O . doi : 10.1016 / 0021-9991 (90) 90177-3 .
5. "Arrowhead.jl"