En matemáticas, una pila o 2 gavillas es, en términos generales, una gavilla que toma valores en categorías en lugar de conjuntos. Las pilas se utilizan para formalizar algunas de las principales construcciones de la teoría de la descendencia y para construir pilas de módulos finos cuando no existen espacios de módulos finos .
La teoría de la descendencia se ocupa de generalizaciones de situaciones en las que los objetos geométricos compatibles isomórficos (como los paquetes de vectores en los espacios topológicos ) pueden "pegarse" dentro de una restricción de la base topológica. En una configuración más general, las restricciones se reemplazan con retrocesos ; Las categorías fibradas constituyen un buen marco para discutir la posibilidad de dicho encolado. El significado intuitivo de una pila es que se trata de una categoría de fibra tal que "funcionan todos los pegados posibles". La especificación de pegados requiere una definición de revestimientos con respecto a los cuales se pueden considerar los pegados. Resulta que el lenguaje general para describir estos revestimientos es el de unTopología de Grothendieck . Así, una pila se da formalmente como una categoría fibrada sobre otra categoría base , donde la base tiene una topología de Grothendieck y donde la categoría fibrada satisface algunos axiomas que aseguran la existencia y unicidad de ciertos pegados con respecto a la topología de Grothendieck.
Las pilas son la estructura subyacente de las pilas algebraicas (también llamadas pilas de Artin) y las pilas de Deligne-Mumford, que generalizan esquemas y espacios algebraicos y que son particularmente útiles en el estudio de espacios de módulos . Hay inclusiones: esquemas ⊆ espacios algebraicos ⊆ pilas de Deligne-Mumford ⊆ pilas algebraicas (pilas de Artin) ⊆ pilas.
Edidin (2003) y Fantechi (2001) dan una breve introducción a las pilas, Gómez (2001) , Olsson (2007) y Vistoli (2005) dan introducciones más detalladas, y Laumon y Moret-Bailly (2000) describen la teoría más avanzada. .
La conclusion pratique à laquelle je suis arrivé dès maintenant, c'est que chaque fois que en vertu de mes critères, une variété de modules (ou plutôt, un schéma de modules) para la clasificación de variaciones (globales, ou infinitésimales) de certaines estructuras (variétés complètes non singulières, fibrés vectoriels, etc.) ne peut exister, malgré de bonnes hypothèses de platitude, propreté, et non singularité éventuellement, la raison en est seulement l'existence d'automorphismes de la structure qui empêche la técnica de descente de marcher.
El concepto de pilas tiene su origen en la definición de datos de descenso efectivos en Grothendieck (1959) . En una carta de 1959 a Serre, Grothendieck observó que una obstrucción fundamental para construir buenos espacios de módulos es la existencia de automorfismos. Una motivación importante para las pilas es que si no existe un espacio de módulos para algún problema debido a la existencia de automorfismos, aún puede ser posible construir una pila de módulos.