Las categorías con fibras (o categorías con fibras ) son entidades abstractas en matemáticas que se utilizan para proporcionar un marco general para la teoría de la descendencia . Formalizan las diversas situaciones en geometría y álgebra en las que se pueden definir imágenes inversas (o pull-backs ) de objetos como paquetes de vectores . Como ejemplo, para cada espacio topológico existe la categoría de paquetes vectoriales en el espacio, y para cada mapa continuo desde un espacio topológico X a otro espacio topológico Y se asocia el functor de retroceso teniendo los paquetes en Y a los paquetes en X . Las categorías fibradas formalizan el sistema que consta de estas categorías y functores de imagen inversa. Configuraciones similares aparecen en diversas formas en las matemáticas, en particular en la geometría algebraica , que es el contexto en el que aparecieron originalmente las categorías fibradas. Las categorías con fibra se utilizan para definir pilas , que son categorías con fibra (sobre un sitio) con "descenso". Las fibraciones también juegan un papel importante en la semántica categórica de la teoría de tipos y, en particular, la de las teorías de tipos dependientes .
Las categorías de fibras fueron introducidas por Alexander Grothendieck ( 1959 , 1971 ) y desarrolladas con más detalle por Jean Giraud ( 1964 , 1971 ).
Antecedentes y motivaciones
Hay muchos ejemplos en la topología y la geometría , donde se consideran algunos tipos de objetos de existir en o por encima de o sobre algunos subyacente espacio base . Los ejemplos clásicos incluyen paquetes del vector, haces principales , y roldanas más de espacios topológicos. Otro ejemplo lo dan las "familias" de variedades algebraicas parametrizadas por otra variedad. Típico de estas situaciones es que para un tipo adecuado de mapa f : X → Y entre espacios base, existe una operación de imagen inversa correspondiente (también llamada retroceso ) f * que lleva los objetos considerados definidos en Y al mismo tipo de objetos en X . Este es de hecho el caso en los ejemplos anteriores: por ejemplo, la imagen inversa de un paquete del vector E en Y es un vector haz f * ( E ) en X .
Además, a menudo ocurre que los "objetos en un espacio base" considerados forman una categoría, o en otras palabras, tienen mapas ( morfismos ) entre ellos. En tales casos, la operación de imagen inversa es a menudo compatible con la composición de estos mapas entre objetos o, en términos más técnicos, es un funtor . Nuevamente, este es el caso en los ejemplos enumerados anteriormente.
Sin embargo, a menudo ocurre que si g : Y → Z es otro mapa, los functores de imagen inversa no son estrictamente compatibles con mapas compuestos: si z es un objeto sobre Z (un paquete de vectores, digamos), bien puede ser que
En cambio, estas imágenes inversas son solo naturalmente isomórficas . Esta introducción de cierta "holgura" en el sistema de imágenes inversas hace que aparezcan algunas cuestiones delicadas, y es esta configuración la que formalizan las categorías fibradas.
La principal aplicación de las categorías de fibras se encuentra en la teoría de la descendencia , que se ocupa de una amplia generalización de las técnicas de "encolado" utilizadas en topología. Con el fin de apoyar la teoría de la descendencia de suficiente generalidad para ser aplicada en situaciones no triviales en geometría algebraica, la definición de categorías fibradas es bastante general y abstracta. Sin embargo, la intuición subyacente es bastante sencilla si se tienen en cuenta los ejemplos básicos discutidos anteriormente.
Definiciones formales
Hay dos definiciones técnicas esencialmente equivalentes de categorías de fibras, las cuales se describirán a continuación. Toda la discusión en esta sección ignora los problemas de la teoría de conjuntos relacionados con las categorías "grandes". La discusión se puede hacer completamente rigurosa, por ejemplo, restringiendo la atención a categorías pequeñas o usando universos .
Morfismos y functores cartesianos
Si φ: F → E es un funtor entre dos categorías y S es un objeto de E , entonces la subcategoría de F consiste en aquellos objetos x para los cuales φ ( x ) = S y aquellos morfismos m que satisfacen φ ( m ) = id S , se llama la categoría de fibra (o fibra ) más de S , y se denota F S . Los morfismos de F S se denominan S-morfismos , y para los objetos x , y de F S , el conjunto de S -morfismos se denota por Hom S ( x , y ). La imagen por φ de un objeto o un morfismo en F se llama proyección (por φ). Si f es un morfismo de E , entonces esos morfismos de F que proyecto a f se llaman F-morfismos , y el conjunto de f -morphisms entre objetos x y y en F se denota por Hom f ( x , y ).
Un morfismo m : x → y en F se llama φ-cartesiano (o simplemente cartesiano ) si satisface la siguiente condición:
- si f : T → S es la proyección de m , y si n: z → y es un f -morfismo, entonces hay precisamente un T -morfismo a : z → x tal que n = m ∘ a .
Un morfismo cartesiano m : x → y se denomina imagen inversa de su proyección f = φ ( m ); el objeto x se denomina imagen inversa de y por f .
Los morfismos cartesianas de una categoría de fibra F S son precisamente los isomorfismos de F S . En general, puede haber más de un morfismo cartesiano proyectándose a un morfismo dado f : T → S , posiblemente teniendo diferentes fuentes; por tanto, puede haber más de una imagen inversa de un objeto dado y en F S por f . Sin embargo, es una consecuencia directa de la definición que dos de esas imágenes inversas son isomorfos en F T .
Un funtor φ: M → E también se denomina E-categoría , o dicho de hacer F en un E -Categoría o una categoría más de E . Un E -functor de una E -categoría φ: F → E a una E -categoría ψ: G → E es un funtor α: F → G tal que ψ ∘ α = φ. Las categorías E forman de manera natural una categoría 2 , siendo los 1-morfismos los E -functores y los 2-morfismos las transformaciones naturales entre los E -functores cuyos componentes se encuentran en alguna fibra.
Un E -functor entre dos E -categorías se llama un functor cartesiano si lleva morfismos cartesianos a morfismos cartesianos. Los functores cartesianos entre dos categorías E F , G forman una categoría Carrito E ( F , G ), con transformaciones naturales como morfismos. Se proporciona un caso especial al considerar E como una categoría E a través del funtor de identidad: entonces, un funtor cartesiano de E a una categoría E F se llama sección cartesiana . Por lo tanto una sección cartesiano consiste en una selección de un objeto x S en F S para cada objeto S en E , y para cada morfismo f : T → S una elección de una inversa imagen m f : x T → x S . Una sección cartesiano es, pues, un (en sentido estricto) sistema compatible de imágenes inversas sobre los objetos de E . La categoría de secciones cartesianas de F se denota por
En el caso importante en el que E tiene un objeto terminal e (así, en particular, cuando E es un topos o la categoría E / S de flechas con el objetivo S en E ) el funtor
es completamente fiel (Lema 5.7 de Giraud (1964)).
Categorías fibradas y categorías hendidas
La definición técnicamente más flexible y económica de las categorías fibradas se basa en el concepto de morfismos cartesianos. Es equivalente a una definición en términos de escisiones , siendo esta última definición la original presentada en Grothendieck (1959); la definición en términos de morfismos cartesianos se introdujo en Grothendieck (1971) en 1960-1961.
Una categoría E φ: F → E es una categoría fibrada (o una categoría E fibrada , o una categoría fibrada sobre E ) si cada morfismo f de E cuyo codominio está en el rango de proyección tiene al menos una imagen inversa, y además la composición m ∘ n de dos morfismos cartesianos cualesquiera m , n en F es siempre cartesiana. En otras palabras, una categoría E es una categoría fibrada si siempre existen imágenes inversas (para morfismos cuyos codominios están en el rango de proyección) y son transitivas .
Si E tiene un objeto terminal ey si F está fibrado sobre E , entonces el funtor ε de las secciones cartesianas a F e definido al final de la sección anterior es una equivalencia de categorías y además sobreyectiva en los objetos.
Si F es una categoría E fibrada, siempre es posible, para cada morfismo f : T → S en E y cada objeto y en F S , elegir (utilizando el axioma de elección ) precisamente una imagen inversa m : x → y . La clase de morfismos así seleccionados se denomina clivaje y los morfismos seleccionados se denominan morfismos de transporte (del clivaje). Una categoría fibrada junto con una hendidura se denomina categoría hendida . Una escisión se denomina normalizada si los morfismos de transporte incluyen todas las identidades en F ; esto significa que las imágenes inversas de morfismos de identidad se eligen como morfismos de identidad. Evidentemente, si existe una escisión, se puede optar por normalizarla; consideraremos solo las escisiones normalizadas a continuación.
La elección de una escisión (normalizada) para una categoría E fibrada F especifica, para cada morfismo f : T → S en E , un funtor f * : F S → F T : en objetos f * es simplemente la imagen inversa por el correspondiente morfismo de transporte, y en los morfismos se define de manera natural por la propiedad universal definitoria de los morfismos cartesianos. La operación que asocia a un objeto S de E la categoría de fibra F S ya un morfismo f el funtor de imagen inverso f * es casi un funtor contravariante de E a la categoría de categorías. Sin embargo, en general no conmuta estrictamente con la composición de morfismos. En cambio, si f : T → S y g : T → T son morfismos en E , entonces no es un isomorfismo de funtores
Estos isomorfismos satisfacen las siguientes dos compatibilidades:
- por tres morfismos consecutivos y objeto lo siguiente sostiene:
Se puede demostrar (ver Grothendieck (1971) sección 8) que, a la inversa, cualquier colección de functores f * : F S → F T junto con isomorfismos c f, g que satisfagan las compatibilidades anteriores, define una categoría hendida. Estas colecciones de functores de imagen inversa proporcionan una vista más intuitiva de las categorías fibradas; y de hecho, fue en términos de tales functores de imagen inversos compatibles que se introdujeron las categorías fibradas en Grothendieck (1959).
El artículo de Gray al que se hace referencia a continuación hace analogías entre estas ideas y la noción de fibración de espacios.
Estas ideas se simplifican en el caso de los groupoides , como se muestra en el artículo de Brown al que se hace referencia a continuación, que obtiene una familia útil de secuencias exactas a partir de una fibración de groupoids.
División y categorías de fibra dividida
A (normalizado) de escisión de tal manera que la composición de dos morfismos de transporte es siempre un morfismo transporte se llama una división , y una categoría fibred con un desdoblamiento se llama una división (fibred) categoría . En términos de functores de imagen inversa, la condición de ser una división significa que la composición de los functores de imagen inversos correspondientes a morfismos componibles f, g en E es igual al functor de imagen inverso correspondiente af ∘ g . En otras palabras, los isomorfismos de compatibilidad c f, g de la sección anterior son todas identidades para una categoría dividida. Por tanto, las categorías E divididas corresponden exactamente a los verdaderos functores de E a la categoría de categorías.
A diferencia de las escisiones, no todas las categorías de fibras admiten escisiones. Para ver un ejemplo, vea a continuación .
Morfismos co-cartesianos y categorías co-fibradas
Se puede invertir la dirección de las flechas en las definiciones anteriores para llegar a los conceptos correspondientes de morfismos co-cartesianos, categorías co-fibradas y categorías co-divididas (o categorías co-divididas). Más precisamente, si φ: F → E es un funtor, entonces un morfismo m : x → y en F se llama co-cartesiano si es cartesiano para el funtor opuesto φ op : F op → E op . Entonces m también se llama una imagen directa y y una imagen directa de x para f = φ ( m ). Una categoría E co- fibrada es una categoría E tal que existe una imagen directa para cada morfismo en E y que la composición de las imágenes directas es una imagen directa. Una co-escisión y una co-división se definen de manera similar, correspondientes a functores de imagen directos en lugar de functores de imagen inversos.
Propiedades
Las 2 categorías de categorías de fibra y categorías divididas
Las categorías fibradas sobre una categoría fija E forman una Fib ( E ) de 2 categorías , donde la categoría de morfismos entre dos categorías fibradas F y G se define como la categoría Carrito E ( F , G ) de los functores cartesianos de F a G .
De manera similar, las categorías divididas sobre E forman una Scin ( E ) de 2 categorías (del francés catégorie scindée ), donde la categoría de morfismos entre dos categorías divididas F y G es la subcategoría completa Scin E ( F , G ) de E - funtores de F a G que consiste en esos funtores que transforman cada morfismo transporte de F en un morfismo transporte de G . Cada uno de estos morfismos de categorías E divididas es también un morfismo de categorías con fibras E , es decir, Scin E ( F , G ) ⊂ Cart E ( F , G ).
Hay un 2-functor i olvidadizo natural : Scin ( E ) → Fib ( E ) que simplemente olvida la división.
Existencia de categorías divididas equivalentes
Si bien no todas las categorías de fibras admiten una división, cada categoría de fibras es de hecho equivalente a una categoría dividida. De hecho, hay dos formas canónicas para construir una categoría proporción equivalente para una categoría dada fibred F sobre E . Más precisamente, el olvidadizo 2-functor i : Scin ( E ) → Fib ( E ) admite una S 2-contigua derecha y una L 2-contigua izquierda (Teoremas 2.4.2 y 2.4.4 de Giraud 1971), y S ( F ) y L ( F ) son las dos categorías de división asociadas. Los functores adjuntos S ( F ) → F y F → L ( F ) son cartesianos y equivalencias ( ibid .). Sin embargo, aunque su composición S ( F ) → L ( F ) es una equivalencia (de categorías, y de hecho de las categorías fibred), es no en un morfismo general de dividir categorías. Por tanto, las dos construcciones difieren en general. Las dos construcciones precedentes de categorías divididas se utilizan de manera crítica en la construcción de la pila asociada a una categoría fibrada (y en particular la pila asociada a una preapilada ).
Categorías fibradas en grupoides
Existe una construcción relacionada con las categorías con fibras llamadas categorías con fibras en groupoids. Estas son categorías con fibras tal que cualquier subcategoría de dada por
- Arreglar un objeto
- Los objetos de la subcategoría son dónde
- Las flechas están dadas por tal que
es un grupoide denotado . Los 2-functores asociados de la construcción de Grothendieck son ejemplos de pilas . En resumen, el functor asociado envía un objeto a la categoría y un morfismo induce un funtor de la estructura de categorías con fibras. Es decir, para un objeto considerado como un objeto de , hay un objeto dónde . Esta asociación da un functor que es un functor de groupoids.
Ejemplos de
Categorías fibradas
- El functor Ob : Cat → Set , que envía una categoría a su conjunto de objetos, es una fibración. Para un conjunto S , la fibra consta de categorías C con Ob (C) = S . Las flechas cartesianas son los functores plenamente fieles.
- Categorías de flechas : Para cualquier categoría E, la categoría de flechas A ( E ) en E tiene como objetos los morfismos en E , y como morfismos los cuadrados conmutativos en E (más precisamente, un morfismo de ( f : X → T ) a ( g : Y → S ) consta de morfismos ( a : X → Y ) y ( b : T → S ) tales que bf = ga ). El funtor que lleva una flecha a su objetivo convierte A ( E ) en una categoría E ; para un objeto S de E la fibra E S es la categoría de E / S de S -Objetos en E , es decir, las flechas en E con destino S . Morfismos cartesianas en A ( E ) son precisamente las plazas cartesianas en E , y por lo tanto A ( E ) se fibred sobre E precisamente cuando los productos de fibra existen en E .
- Paquetes de fibra : Los productos de fibra existen en la categoría Top de espacios topológicos y, por lo tanto, en el ejemplo anterior, A ( Top ) está fibrado sobre Top . Si Fib es la subcategoría completa de A ( superior ) que consta de flechas que son mapas de proyección de haces de fibras , entonces Fib S es la categoría de haces de fibras en S y Fib se fibriza sobre Top . La elección de un escote equivale a la elección de functores de imagen inversa (o de retroceso ) ordinarios para los haces de fibras.
- Paquetes de vectores : De manera similar a los ejemplos anteriores, las proyecciones ( p : V → S ) de paquetes de vectores reales (complejos) a sus espacios base forman una categoría Vect R ( Vect C ) sobre la parte superior (morfismos de paquetes de vectores con respecto al vector estructura espacial de las fibras). Esta categoría superior también está fibrada, y los functores de imagen inversa son los functores de retroceso ordinarios para los paquetes de vectores. Estas categorías fibradas son subcategorías (no completas) de Fib .
- Gavillas en espacios topológicos : Los functores de imagen inversa de las gavillas convierten las categorías Sh ( S ) de las gavillas en los espacios topológicos S en una categoría de fibras (escindidas) Sh sobre la parte superior . Esta categoría de fibras se puede describir como la subcategoría completa de A ( Arriba ) que consta de espacios de poleas de étalé. Al igual que con los haces de vectores, las gavillas de grupos y anillos también forman categorías fibradas de Top .
- Poleas en topoi : Si E es un topos y S es un objeto en E , la categoría E S de S -Objetos es también un topos, interpretados como la categoría de poleas en S . Si f : T → S es un morfismo en E , el functor de imagen inverso f * se puede describir de la siguiente manera: para un haz F en E S y un objeto p : U → T en E T, uno tiene f * F ( U ) = Hom T ( U , f * F ) es igual a Hom S ( f ∘ p , F ) = F ( U ). Estos imagen inversa hacen las categorías E S en una fracción de la categoría fibred en E . Esto se puede aplicar en particular a los topos TOP "grandes" de los espacios topológicos.
- Gavillas cuasi coherentes sobre esquemas : las poleas cuasi coherentes forman una categoría fibrada sobre la categoría de esquemas . Este es uno de los ejemplos motivadores para la definición de categorías fibradas.
- Categoría de fibras que no admite escisión : un grupo G puede considerarse como una categoría con un objeto y los elementos de G como los morfismos, la composición de los morfismos viene dada por la ley de grupo. Un homomorfismo de grupo f : G → H puede entonces considerarse como un funtor, lo que convierte a G en una categoría H. Se puede comprobar que en esta configuración todos los morfismos en G son cartesianos; por tanto, G está fibrado sobre H precisamente cuando f es sobreyectiva. Una división en esta configuración es una sección (teórica de conjuntos) de f que conmuta estrictamente con la composición, o en otras palabras, una sección de f que también es un homomorfismo. Pero como es bien sabido en la teoría de grupos , esto no siempre es posible (se puede tomar la proyección en una extensión de grupo no dividido ).
- Categoría co-fibrada de roldanas : El functor de imagen directo de roldanas convierte las categorías de roldanas en espacios topológicos en una categoría cofibrada. La transitividad de la imagen directa muestra que esto es incluso naturalmente co-split.
Categoría fibrada en grupoides
Uno de los principales ejemplos de categorías con fibras en groupoids proviene de los objetos groupoid internos a una categoría.. Entonces, dado un objeto grupoide
hay un objeto grupoide asociado
en la categoría de functores contravariantes de la incrustación de yoneda . Dado que este diagrama se aplicó a un objeto da un grupoide interno a los conjuntos
hay un pequeño grupoide asociado . Esto da un 2-functor contravariante, y usando la construcción de Grothendieck , esto da una categoría con fibras en groupoids sobre. Tenga en cuenta que la categoría de fibra sobre un objeto es solo el grupoide asociado del grupoide original en conjuntos.
Cociente de grupo
Dado un objeto de grupo actuando sobre un objeto de , hay un objeto grupoide asociado
dónde es la proyección en y es el mapa de composición . Este groupoid da una categoría inducida con fibras en groupoids denotado.
Ver también
- Construcción Grothendieck
- Pila (matemáticas)
- El criterio de Artin
Referencias
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- Giraud, Jean (1971). "Cohomologie non abélienne". Springer . ISBN 3-540-05307-7. Cite journal requiere
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- Gray, John W. (1966). "Categorías fibradas y cofibradas". Proc. Conf. Álgebra categórica (La Jolla, California, 1965) . Springer Verlag. págs. 21–83.
- Brown, R., "Fibrations of groupoids", J. Algebra 15 (1970) 103-132.
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- Categorías de fibras a la Bénabou , Thomas Streicher
- Una introducción a las fibraciones, la teoría de los topos, los topos efectivos y los conjuntos modestos , Wesley Phoa
- R. Brown y R. Sivera, "Cálculos de colimit algebraicos en la teoría de homotopía usando categorías fibred y cofibred" , Teoría y Aplicaciones de Categorías , 22 (2009) 222-251.
- R. Brown, PJ Higgins, R. Sivera, "Topología algebraica no beliana: espacios filtrados, complejos cruzados, omega-groupoids cúbicos", Sociedad Matemática Europea, Tracts in Mathematics, vol. 15 , ISBN 978-3-03719-083-8 . [1] .
enlaces externos
- SGA 1.VI - Categorías de fibras y descendencia - páginas 119-153
- Fibra de Grothendieck en nLab