Teoría asintótica (estadística)

En estadística : la teoría asintótica , o teoría de muestras grandes , es un marco para evaluar las propiedades de los estimadores y las pruebas estadísticas . Dentro de este marco, a menudo se supone que el tamaño de la muestra $n$ puede crecer indefinidamente; las propiedades de los estimadores y las pruebas se evalúan luego por debajo del límite de $n \to \infty$ . En la práctica, una evaluación límite se considera aproximadamente válida también para tamaños de muestra finitos grandes. ^[1]

Resumen [ editar ]

La mayoría de los problemas estadísticos comienzan con un conjunto de datos de tamaño $n$ . La teoría asintótica procede asumiendo que es posible (en principio) seguir recopilando datos adicionales, por lo que el tamaño de la muestra crece infinitamente, es decir, $n \to \infty$ . Bajo el supuesto, se pueden obtener muchos resultados que no están disponibles para muestras de tamaño finito. Un ejemplo es la ley débil de los grandes números . La ley establece que para una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (IID) $X$ $1$ $,$ $X$ $2$ $, ...$ , si se extrae un valor de cada variable aleatoria y el promedio de los primeros $n$ valores se calcula como $X n$ , entonces $X n$ convergen en probabilidada la media poblacional $E [X i]$ cuando $n \to \infty$ . ^[2]

En la teoría asintótica, el enfoque estándar es $n \to \infty$ . Para algunos modelos estadísticos , se pueden utilizar enfoques ligeramente diferentes de asintóticos. Por ejemplo, con datos de panel , comúnmente se asume que una dimensión en los datos permanece fija, mientras que la otra dimensión crece: $T = constante$ y $N \to \infty$ , o viceversa. ^[2]

Además del enfoque estándar de la asintótica, existen otros enfoques alternativos:

Dentro del marco de normalidad asintótica local , se supone que el valor del "parámetro verdadero" en el modelo varía ligeramente con $n$ , de modo que el modelo $n$ -ésimo corresponde a $θ$ $n$ $=$ $θ$ $+$ $h$ $/$ $\sqrt$ $n$ . Este enfoque nos permite estudiar la regularidad de los estimadores .
Cuando se estudian las pruebas estadísticas por su poder para distinguir de las alternativas cercanas a la hipótesis nula, se hace dentro del marco de las llamadas "alternativas locales": la hipótesis nula es $H 0 : θ = θ 0$ y la alternativa es $H 1 : θ = θ 0 + h / \sqrt n$ . Este enfoque es especialmente popular para las pruebas de raíz unitaria .
Hay modelos en los que la dimensión del espacio de parámetros $Θ n$ lentamente se expande con $n$ , lo que refleja el hecho de que los más observaciones existen, los efectos más estructurales se pueden incorporar factible en el modelo.
En la estimación de la densidad del kernel y la regresión del kernel , se asume un parámetro adicional: el ancho de banda $h$ . En esos modelos, normalmente se considera que $h \to 0$ como $n \to \infty$ . Sin embargo, la tasa de convergencia debe elegirse con cuidado, generalmente $h \propto n -1/5$ .

En muchos casos, se pueden obtener resultados muy precisos para muestras finitas mediante métodos numéricos (es decir, computadoras); incluso en tales casos, sin embargo, el análisis asintótico puede ser útil. Small (2010 , §1.4) señaló este punto de la siguiente manera.

Un objetivo principal del análisis asintótico es obtener una comprensión cualitativa más profunda de las herramientas cuantitativas . Las conclusiones de un análisis asintótico a menudo complementan las conclusiones que pueden obtenerse mediante métodos numéricos.

Modos de convergencia de variables aleatorias [ editar ]

Propiedades asintóticas [ editar ]

Estimadores [ editar ]

Coherencia [ editar ]

Se dice que una secuencia de estimaciones es coherente si converge en probabilidad con el valor real del parámetro que se está estimando:

{\hat {\theta }}_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ \theta _{0}.

Es decir, hablando aproximadamente con una cantidad infinita de datos, el estimador (la fórmula para generar las estimaciones) daría casi con seguridad el resultado correcto para el parámetro que se está estimando. ^[2]

Distribución asintótica [ editar ]

Si es posible encontrar secuencias de constantes no aleatorias ${a n}$ , ${b n}$ (posiblemente dependiendo del valor de $θ 0$ ), y una distribución no degenerada $G$ tal que

b_{n}({\hat {\theta }}_{n}-a_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ G,

entonces la secuencia de estimadores se dice que tiene la distribución asintótica G . $\textstyle {\hat {\theta }}_{n}$

Muy a menudo, los estimadores que se encuentran en la práctica son asintóticamente normales , lo que significa que su distribución asintótica es la distribución normal , con $a n = θ 0$ , $b n = \sqrt n$ y $G = N (0, V )$ :

{\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}-\theta _{0})\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}(0,V).

Regiones de confianza asintóticas [ editar ]

Teoremas asintóticos [ editar ]

Teorema del límite central
Teorema de mapeo continuo
Teorema de Glivenko-Cantelli
Ley de los grandes números
Ley del logaritmo iterado
Teorema de slutsky
Método delta

Ver también [ editar ]

Análisis asintótico
Estadísticas exactas
Teoría de las grandes desviaciones

Referencias [ editar ]

^ Höpfner, R. (2014), Estadísticas asintóticas, Walter de Gruyter. 286 pag. ISBN 3110250241 , ISBN 978-3110250244
^ a b c A.DasGupta. Teoría asintótica de la estadística y la probabilidad (2008) 756 pag. ISBN 0387759700 , ISBN 978-0387759708

Bibliografía [ editar ]

Balakrishnan, N .; Ibragimov, IAVB; Nevzorov, VB, eds. (2001), Métodos asintóticos en probabilidad y estadística con aplicaciones , Birkhäuser , ISBN 9781461202097
Borovkov, AA ; Borovkov, KA (2010), Análisis asintótico de paseos aleatorios , Cambridge University Press CS1 maint: discouraged parameter (link)
Buldygin, VV; Solntsev, S. (1997), Comportamiento asintótico de sumas de variables aleatorias transformadas linealmente , Springer, ISBN 9789401155687
Le Cam, Lucien ; Yang, Grace Lo (2000), Asymptotics in Statistics (2a ed.), Springer CS1 maint: discouraged parameter (link)
Dawson, D .; Kulik, R .; Ould Haye, M .; Szyszkowicz, B .; Zhao, Y., eds. (2015), Leyes y métodos asintóticos en estocásticos , Springer-Verlag
Höpfner, R. (2014), Estadística asintótica , Walter de Gruyter
Lin'kov, Yu. N. (2001), Métodos estadísticos asintóticos para procesos estocásticos , American Mathematical Society
Oliveira, PE (2012), Asintóticos para variables aleatorias asociadas , Springer
Petrov, VV (1995), Teoremas del límite de la teoría de la probabilidad , Oxford University Press
Sen, PK; Cantante, JM; Pedroso de Lima, AC (2009), De la muestra finita a los métodos asintóticos en estadística , Cambridge University Press
Shiryaev, AN; Spokoiny, VG (2000), Experimentos y decisiones estadísticos: teoría asintótica , World Scientific
Small, CG (2010), Expansiones y asintóticas para estadística , Chapman & Hall
van der Vaart, AW (1998), Estadísticas asintóticas , Cambridge University Press

[1] Höpfner, R. (2014), Estadísticas asintóticas, Walter de Gruyter. 286 pag. ISBN 3110250241 , ISBN 978-3110250244

[ONE-2] A.DasGupta. Teoría asintótica de la estadística y la probabilidad (2008) 756 pag. ISBN 0387759700 , ISBN 978-0387759708

[1]